《2.3.2离散型随机变量的方差》课件1

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1、2.3.2离散型随机变量的方差问题引航1.离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？2.方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？3.如何计算简单离散型随机变量的方差？1.方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义:设离散型随机变量X的分布列为①方差D(X)=______________.②标准差为______.(2)方差的性质:D(aX+b)=______.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pna2D(X)2.两个常见分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)=_______.(2)若X～B(n，p)，则D(X)=_

2、_______.p(1-p)np(1-p)1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.()(2)若a是常数，则D(a)=0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()【解析】(1)错误.离散型随机变量的方差越大，随机变量越不稳定.(2)正确.因为E(a)=a，所以D(a)=0.(3)正确.由离散型随机变量的方差的几何意义可知，其反映了随机变量偏离于期望的平均程度.答案:(1)×(2)√(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p

3、=0.5，则E(X)和D(X)分别为.(2)设随机变量ξ～B，则D(ξ)=.(3)如果X是离散型随机变量，Y=3X+2，那么D(Y)=D(X).【解析】(1)因为X服从两点分布，所以X的概率分布为所以E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5，D(X)=0.52×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25.答案:0.5和0.25X01P0.50.5(2)因为随机变量ξ～B，所以D(ξ)=答案:(3)由于X是离散型随机变量，Y=3X+2呈线性关系，代入公式，则E(Y)=3E(X)+2，D(Y)=32D(X)=9D(X).答案:9【要点探究】知识点方差、标

4、准差的定义及方差的性质1.对随机变量X的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度.(3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小.(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.(5)方差也可用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2计算(可由·pi展开整理得).2.随机变量的方差和样本方差之间的关系区别随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量联系对于简单

5、随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差3.方差具有的性质当a，b均为常数时，随机变量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ).特别地:(1)当a=0时，D(b)=0，即常数的方差等于0.(2)当a=1时，D(ξ+b)=D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身.(3)当b=0时，D(aξ)=a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.(4)当a，b均为非零常数时，随机变量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ

6、).【知识拓展】证明公式D(X)=E(X2)-(E(X))2证明:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(p1+p2+…+pn)-2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn)+(E(X))2(p1+p2+…+pn)=E(X2)-2(E(X))2+(E(X))2=E(X2)-((E(X))2.利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2可以简化求方差的过程.【微思考】(1)数学期望与方差表示的含义相同吗？提示:不同.数学期望是概率意义下的平均值，而方差体现了随机变量偏离于期望的平均程度.(2)两点

7、分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示:由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系.【即时练】(2014·杭州高二检测)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)=.【解析】依题意得，随机变量ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3.所以X的分布列为：由分布列可知E(ξ)==2，又E(ξ2)=，所以D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=-22=0.4.答案:0.4ξ123P【题型示范】类型一离散型随机变量的方差及标准差的计算【

8、典例1】(1)同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)=()(2)已知X的