《26.1 锐角三角函数》（冀教版）

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1、本课时编写：河雍中学学校王刚老师第26单元·解直角三角形26.1锐角三角函数河北教育出版社九年级

2、上册如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC长度的问题)学习新知直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值1.如图，在Rt△中和Rt△中，==.与具有怎样的关系?=90°.当=时，

3、(三角形相似)引导思考:(1)如何证明线段成比例?(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')(3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?（Rt△ABC∽Rt△A'B'C',∴2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B‘C’⊥AF,垂足分别为C,C‘。与具有怎样的关系?在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的。如图所示,在

4、Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA==。大家谈谈(tanA是一个比值,没有单位)(1)∠A的正切tanA表示的是tan与A的乘积还是一个整体?(tanA表示的是一个整体)(2)当∠A的大小变化时,tanA是否变化?(tanA随着∠A的大小变化而变化)(3)tanA有单位吗?(4)∠B的正切怎么表示?tanA与tanB之间有怎样的关系?(tanB=,tanA·tanB=1.)(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道

5、直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和邻边)(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)例1在Rt△ABC中,∠C=90°。(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值。(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tanA的值。解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且。∴==。∴tanA=tan30°=,tanB=tan60°=。(2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b。∴tanA=tan45°=。这样,就得到tan30°=,tan45°=1,tan60°=。5.tan2A表示(ta

6、nA)2,而不能写成tanA2[知识拓展]1.正切是一个比值,没有单位。2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关。3.tanA是一个整体符号,不能写成tan·A。4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC。1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tanA等于()A.B.C.D.解析:根据锐角正切的定义可得tanA==,故选B。B检测反馈2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定解析：因为△ABC三边的长

7、度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切值也不变。故选A。A3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,则AC等于。解析:根据正切定义可得tanA===，所以AC=9.故填9。94.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°。(1)若tanA=,BC=9,求AB的长;(2)若tanB=,AC=16,求AB的长。解：（1）∵tanA==，又BC=9,∴AC=12,由勾股定理可得AB==15。∴AB的长为15。(2)∵tanB==,AC=16,∴BC=12。由勾股定理可得AB==

8、20。∴AB的长为20。