九年级数学相似三角形的性质及其应用第1课时相似三角形的性质随堂练习含解析新版浙教版

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1、4.5__相似三角形的性质及其应用__第1课时　相似三角形的性质1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应的角平分线之比为(　B　)A．2∶1B．1∶2C．1∶4D．1∶2．[2016·兰州]已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　A　)A.B.C.D.3．如图4－5－1，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，OP，OQ分别为∠DOE，∠BOC的角平分线，则＝__2__．图4－5－14．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线

2、长为10，那么另一个三角形对应的中线长为__4或25__．【解析】∵相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线长为10，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，∴另一个三角形对应的中线长可能为4，也可能为25.5．如图4－5－2，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，求证：＝k.图4－5－2证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝＝k，∠B＝∠B′.又∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，∴＝＝＝.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝＝k.6．如图4－5－3所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM

3、，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9cm，CB＝12cm，DE＝3cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？图4－5－3解：(1)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝AB＝7.5，∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴＝，即＝＝，∴DF＝5，∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝DF＝2.5；(2)∵＝＝，相似比为＝＝，∴相似三角形对应中线的长的比值等于相似比．7．[2016·新泰二模]如图4－5－4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.图4－5－4求

4、证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠C＋∠CED＝180°，∴∠BDE＝∠CED，∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE；(2)由△DEF∽△BDE，得＝，∴DE2＝DB·EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF，∴＝，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.8．如图4－5－5，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，BC＝7，AE＝4，求DE的长．图4－5－5解：∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠E

5、DB.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝.设DE＝BE＝x，则AB＝4＋x，∵BC＝7，AE＝4，∴＝，即x2＋4x－28＝0，解得x1＝－2＋4，x2＝－2－4(不合题意，舍去)，∴DE＝4－2.9．如图4－5－6，在△ABC中，点D在AC上，且AD∶DC＝1∶2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F.求证：BF∶FC＝1∶3.图4－5－6　　第9题答图证明：∵AD∶DC＝1∶2，∴AD∶AC＝1∶3.如答图，作DG∥AF交BC于点G，则＝＝，＝.∵E是BD的中点，∴BE＝ED，∴BF＝FG，

6、∴＝，即BF∶FC＝1∶3.10．[2016·合肥模拟]如图4－5－7，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连结BF.(1)求证：△CAE∽△CBF；图4－5－7(2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长．解：(1)证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；(2)∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，又∵AE＝2，∴＝，∴BF＝.又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋

7、BF2＝12＋()2＝3，∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝.11．如图4－5－8，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．图4－5－8解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AB·AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE