解析几何 (16)

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1、第9讲　圆锥曲线的热点问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析　由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案　＋＝12．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝

2、0或1.答案　1或03．(2014·济南模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1

3、－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案　4x－y－7＝05．(2014·烟台期末考试)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则

4、AB

5、的最小值为________．解析　由题意可设直线l的方程为y＝m，代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＝2，x2＝－2，所以

6、AB

7、＝

8、x1－x2

9、＝4，所以

10、AB

11、＝4≥4，即当m＝0时，

12、AB

13、有最小值4.答案　46．(2014·西安模拟)已知双曲线x2

14、－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2.答案　－27．(2014·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为

15、直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.解析　如图，设

16、AF1

17、＝m，则

18、BF1

19、＝m，

20、AF2

21、＝m－2a，

22、BF2

23、＝m－2a，∴

24、AB

25、＝

26、AF2

27、＋

28、BF2

29、＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由

30、AF1

31、2＋

32、AF2

33、2＝

34、F1F2

35、2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2.答案　5－28．(2014·青岛调研)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________．解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x

36、2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.答案　3二、解答题9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．(1)求证：＋等于定值；(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明　由消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，①∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0，∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.设P(x1，y

37、1)，Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根．x＝∴x1＋x2＝，x1x2＝.②由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝1－x1，y2＝1－x2，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④∴＋＝2.(2)解　利用(1)的结论，将a表示为e的函数由e＝⇒b2＝a2－a2e2，代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.∴a2＝＝＋.∵≤e≤，∴≤a2≤.∵a＞0，∴≤a≤.∴长轴长的取值范围是[，]．10．(2014·佛山模拟)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0

38、的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点