小学奥数经典专题点拨:几何图形计数.doc

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1、几何图形的计数【点与线的计数】  例1如图5.45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形,问:图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多?  (全国第二届“华杯赛”决赛试题)  讲析:可用“分组对应法”来计数。  将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个,其下行线有2点;  第二排三角形有3个,其下行线有3点;  第三排三角形有5个,其下行线有4点;  以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。  所以是小三角形个数多。  例2直线m上有4个点,直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形?  (如图5.46)  (哈尔滨市第十一届小学数学竞赛

2、试题)  讲析:本题只要数出各直线上有多少条线段,问题就好解决了。  直线n上有5个点,这5点共可以组成4+3+2+1=10(条)线段。以这些线段分别为底边,m上的点为顶点,共可以组成4×10=40(个)三角形。  同理,m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边,以n上的点为顶点可以组成6×5=30(个)三角形。  所以,一共可以组成70个三角形。【长方形与三角形的计数】  例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点,以其中不在一条直线上的3点为顶点,可以构成三角形。在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?  (全国第三届“华杯

3、赛”复赛试题)  为3的三角形,或者高为2,底为3的三角形,都符合要求。  ①底边长为2,高为3的三角形有2×4×4=32(个);  ②高为2,底边长为3的三角形有8×2=16(个)。  所以,包括图中阴影部分三角形共有48个。  例2图5.48中共有______个三角形。  (《现代小学数学》)邀请赛试题)  讲析:以AB边上的线段为底边,以C为顶点共有三角形6个;  以AB边上的线段为底边,分别以G、H、F为顶点共有三角形3个;  以BD边上的线段为底边,以C为顶点的三角形共有6个。  所以,一共有15个三角形。  例3图5.49中共有______个正方形。  (《

4、现代小学数学》邀请赛试题)  讲析:可先来看看图5.50的两个图中,各含有多少个正方形。  图5.50(1)中,正方形个数是6×3+5×2+4×1=32(个);  图5.50(2)中,正方形个数是4×4+3×3+2×2+1×1=30(个)  如果把图5.49中的图形,分成5×6和4×11两个长方形,则:  5×6的长方形中共有正方形  5×6+4×5+3×4+2×3+1×2=70(个);  4×11的长方形中共有正方形  4×11+3×10+2×9+1×8=100(个)。  两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形  4×5+3×4+2×3+1×2=40(个)。  

5、所以,原图中共有正方形70+100-40=130(个)。  例4平面上有16个点,排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51(1)],每个点上钉上钉子。以这些点为顶点,用线将它们围起来,一共可围成______个正方形。  (《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题)  讲析:能围成图5.51(2)的正方形共14(个);  能围成图5.51(3)的正方形共2(个);  能围成图5.51(4)的正方形共4(个)。  所以,一共可围成正方形20个。【立体图形的计数】  例1用125块体积相等的黑、白两种正方体,黑白相间地拼成一个大正方体(如图5.52)。那么,露

6、在表面上的黑色正方体的个数是_______。  (1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)  讲析:本题要注意不能重复计数。  八个顶点上各有一个黑色正方体,共8个;  每条棱的中间有一个黑色正方体,共12个;  除上面两种情况之外,每个面有5个黑色正方体,共5×6=30(个)。  所以,总共有50个黑色正方体露在表面上。  例2把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体,这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等,那么,最少可以分割成______个小正方体。  (北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题)  讲析:若分成|×××|的小正方体,则

7、共可分成27个。  但是分割时,要求正方体尽可能地少,也就是说能分成大正方体的,尽可能地分。则在开始的时候,可分出一个2×2×2的正方体(如图5.53),余下的都只能分成1×1×1的正方体了。  所以,最少可分成20个小正方体。

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