2019版高考数学复习专题跟踪检测（十八）坐标系与参数方程理（重点生，含解析）（选修4_4）

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1、专题跟踪检测（十八）坐标系与参数方程1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点需满足<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为（t为参数，<α<）.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

2、于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是（α为参数，<α<）.2．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求△OAB的最大面积．解：(1)由(t为参数)，得曲线C1的普通方程为y＝xtanα，故曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x＝ρcosθ，y＝ρsi

3、nθ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.故交点A的坐标为(4cosα，α)(也可写出直角坐标)．(2)由题意知，点B的极坐标为.∴S△OAB＝＝，当sin＝－1时，(S△OAB)max＝2＋2，故△OAB的最大面积是2＋2.3．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，写出D点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sinθ，可得ρ2＝2ρsin

4、θ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.(2)由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t得l的普通方程为x＋y－5＝0，由(1)得曲线C的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l的距离为＝2＞1，所以曲线C与l相离．因为点D在曲线C上，所以可设D(cosα，1＋sinα)，则点D到直线l的距离d＝＝，当sin＝1时，点D到直线l的距离d最短，此时α＝，故点D的直角坐标为.4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l

5、与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若

6、PQ

7、2＝

8、AP

9、·

10、AQ

11、，求直线l的斜率k.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，由Δ＝(4cosα)2－4×3＞0，得cos2α＞，则t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，由参数的几何意义知，

12、AP

13、＝

14、t1

15、，

16、AQ

17、＝

18、t2

19、，

20、PQ

21、＝

22、t1－t2

23、，由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cosα)2＝5×

24、3，解得cos2α＝，满足cos2α＞，所以sin2α＝，tan2α＝，所以直线l的斜率k＝tanα＝±.5．已知曲线C：(α为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求

25、

26、MF1

27、－

28、NF1

29、

30、的值．解：(1)曲线C：可化为＋＝1，故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．所以经过点A(0，)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y－＝0，所以直线AF2的极坐标方程为ρcosθ＋ρsi

31、nθ＝.(2)由(1)知，直线AF2的斜率为－，因为l⊥AF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆C的方程中，得13t2－12t－36＝0.则t1＋t2＝.因为点M，N在点F1的两侧，所以

32、

33、MF1

34、－

35、NF1

36、

37、＝

38、t1＋t2

39、＝.6．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ(ρ≥0,0≤θ＜π)．(1)写