2018_2019学年高中数学导数及其应用3.2导数的运算3.2.2函数的和、差、积、商的导数学案苏教版

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1、3.2.2　函数的和、差、积、商的导数学习目标：1.掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．(重点)　2.会利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．(难点)[自主预习·探新知]函数和、差、积、商的求导法则公式语言叙述[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)两个函数和的导数等于这两个函数导数的和[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)两个函数差的导数等于这两个函数导数的差[C(f(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)常数与函数的积的导数等于常数与函数的导数的积[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′

2、(x)两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数′＝(g(x)≠0)两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方[基础自测]1．判断正误：(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　　)(2)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．(　　)(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．(　　)【解析】　(1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a.(2)×.运用法则求导时，要首先保

3、证f′(x)、g′(x)存在．(3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×2．若f(x)＝，则f′(x)＝________.【导学号：95902205】【解析】　f′(x)＝＝－.【答案】　－[合作探究·攻重难]导数运算法则的应用　求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tanx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3);(4)y＝.[思路探究]　仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣导数公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形，再结合基本初等函

4、数的导数公式，小心计算．【自主解答】　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x·tanx)′＝＝＝＝.(3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(4)方法一：y′＝＝＝＝－.方法二：y＝＝＝1＋y′＝′＝＝－.[规律方法]　深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和、差、积、商的导数问题的前提.在具体求导

5、时，可结合给定函数本身的特点，先分清函数结构，再将各部分的导数求出，具体的求解策略主要有以下几种.(1)直接求导：利用导数运算法则直接求导数，此法适用于一些比较简单的函数的求导问题.(2)先化简后求导：在求导中，有些函数形式上很复杂，可以先进行化简再求导，以减少运算量.(3)先分离常数后求导：对于分式形式的函数，往往可利用分离常数的方法使分式的分子不含变量，从而达到简化求导过程的目的.1．求下列函数的导数：(1)f(x)＝x＋；(2)f(x)＝sinx－cosx；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝exsinx.【导学号：95902206】(

6、2)f′(x)＝(sinx－cosx)′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.(3)f′(x)＝＝＝＝－－.(4)f′(x)＝(exsinx)′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx).复杂曲线的切线问题　(1)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为________．[思路探究]　利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，代入直线的点斜式方程得切线方程．【自主解答】　(1)∵y′＝3ln

7、x＋4，∴k＝3×ln1＋4＝4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.(2)由y′＝＝－，所以k＝－1，得切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.【答案】　(1)4x－y－3＝0　(2)x＋y－2＝0[规律方法]　利用常见函数的导数与导数运算公式来简化曲线切线的求法.(1)在点P(x0，y0)处的切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(2)过点P(x1，y1)的切线方程：设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，代入点P(x1，y1)求出x0，即可得出切线方程(求出的x0

8、的个数就是过这点的切线的条数).[跟踪训练]2．若直线y＝kx是曲线y＝x3－x2＋x的切线，则k的值为__________．【解析】　设切点为(x0，y0)，y′＝3x2－2x