第3章《导数及其应用-3.2.2 函数的和、差、积、商的导数》导学案

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1、第3章《导数及其应用-3.2.2》导学案教学过程一、问题情境1.分别求下列函数的导数.(1)y=x2；(2)y=x；(3)y=x2+x.你能从以上计算结果中发现什么结论？解　前两个函数的和(即第三个函数)的导数，等于这两个函数导数的和.2.你能证明上述结论吗？解　因为==2x+Δx+1，当Δx→0时，→2x+1，所以y'=2x+1.3.两个函数的差的导数，等于这两个函数导数的差吗？[题后反思]　从具体函数入手，利用导数的定义求出两个函数和的导数，在此基础上，作出猜想，给出两个函数和、差的求导法则，学生容易理解.两个函数的和的求导法则的推导，不要求学生掌握，可指导学生课外探究.二、数学建构问题

2、1　已知f'(x)，g'(x)，则[f(x)+g(x)]'等于什么？[1]解　一般地，函数和的求导法则:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).即两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和.问题2　可以怎么验证大家呈现的结论是否正确呢？[2]问题3　你能证明吗？[3]问题4　已知f'(x)，g'(x)，则[f(x)-g(x)]'[f(x)g(x)]'，等于什么？函数的和(差)的求导法则　两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).函数的积的求导法则　两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第

3、一个函数乘以第二个函数的导数，即[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).函数的商的求导法则　两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即=(g(x)≠0).对法则的理解:(1)法则适用于两个可导函数的和、差、积、商；两个不可导函数的和、差、积、商不一定不可导.(2)[Cf(x)]'=Cf'(x)(C为常数).(3)求导法则的证明不作要求.三、数学运用【例1】　(教材第83页例2)求下列函数的导数:(1)f(x)=x2+sinx；(2)g(x)=x3-x2-6x+2.(见学生用书P53)[处理建议]　先由学生写出解题过程，

4、让其他学生点评.教师在学生的交流中，了解学生的思维过程，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，同时强调书写格式的规范.[规范板书]　解　(1)f'(x)=(x2+sinx)'=(x2)'+(sinx)'=2x+cosx.(2)g'(x)==3x2-3x-6.[题后反思]　根据函数的和(差)求导法则的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数，再用导数公式进行运算.变式　求y=2x3-3x2+5x-4的导数.[规范板书]　解　y'=(2x3-2x2+5x-4)'=6x2-6x+5.【例2】　(教材第83页例3)求下列函数的导数:(1)h(x)=xsinx；(2)S(t)=.(见学生用书P54)

5、[规范板书]　解　(1)h'(x)=(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx.(2)S'(t)====.[题后反思]　例2中的第(2)题还有其他解法:S'(t)==1-.例2第二种解法可由学生的探究活动产生，教师作适当的点拨.归纳根据函数的积商的求导法则求导的一般步骤，同时注意说明解法不唯一.要求学生正确运用公式.变式1　用两种方法求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.[规范板书]解法一　y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.解法二　y=6x3-4x2+9x-6，y'=18x

6、2-8x+9.变式2　求y=的导数.[规范板书]　解　y'===.变式3　求y=xlnx的导数.[规范板书]　解　y'=x'lnx+x(lnx)'=lnx+1.变式4　求y=在点x=3处的导数.[规范板书]解　y'====，所以y'===-.【例3】　已知函数f(x)的导数是f'(x)，则函数[f(x)]2的导数为2f'(x).这个结论对吗？(见学生用书P54)[处理建议]　可将[f(x)]2看作f(x)·f(x)，再利用函数积的求导法则求[f(x)]2的导数.[规范板书]　解　{[f(x)]2}'=[f(x)f(x)]'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)≠2f'

7、(x)，所以上述结论错误.[题后反思]　本题的实质是复合函数的求导，有兴趣的同学可以研究一下复合函数求导的规律.四、课堂练习1.函数y=x2cosx的导数y'=2xcosx-x2sinx.2.函数y=的导数y'=.3.若曲线y=2ax2+1过点(，3)，则此曲线在该点的切线方程是4x-y-1=0.4.若曲线y=x2+ax+b在点(0，b)处的切线方程是x-y+1=0，则a=　1　，b=　1　. 五、课堂小结1