2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.2 函数的和、差、积、商的导数学案 苏教版选修1 -1

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1、3.2.2　函数的和、差、积、商的导数学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.知识点一　和、差的导数已知f(x)＝x，g(x)＝.思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.思考2　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数.答案　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－.∴当Δx→0时，1－→1－.∴Q′(x)＝1－.同理，H′(x)＝1＋.梳理　和、差的导数[f(x)±g(x

2、)]′＝f′(x)±g′(x).知识点二　积、商的导数(1)积的导数①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数).(2)商的导数′＝(g(x)≠0).特别提醒：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.1.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.(　√　)2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x).(　×　)3.(tanx)′＝.(　×　)4.′＝.(　×　)类型一　导数运算法

3、则的应用例1　求下列函数的导数：(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xlnx＋2x；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.考点　导数的运算法则题点　利用法则求函数导数解　(1)f′(x)＝′＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.(2)f′(x)＝(xlnx＋2x)′＝(xlnx)′＋(2x)′＝x′lnx＋x(lnx)′＋2xln2＝lnx＋1＋2xln2.(3)方法一　f′(x)＝′＝＝＝.方法二　∵f(x)＝＝＝1－，∴f′(x)＝′＝′＝－＝.(4)f′(x)＝(x2

4、·ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2).反思与感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分.(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y

5、＝＋；(3)y＝；(4)y＝ex(2x2－3x＋4).考点　导数的运算法则题点　利用法则求函数导数解　(1)y′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝3(x2)′＋x′cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x－3－9x－4＝－－.(3)y′＝＝＝.(4)y′＝(ex)′(2x2－3x＋4)＋ex(2x2－3x＋4)′＝ex(2x2－3x＋4)＋ex(4x－3)＝ex(2x2＋x＋1).类型二　导数运算法则的综合应用例2　(1)已知函数f(x

6、)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点　导数的运算法则题点　导数的运算法则的运用解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)

7、＋d)cosx]′＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又∵f′(x)＝xcosx，∴即解得a＝d＝1，b＝c＝0.反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.完成(1)

8、(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.跟踪训练2　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝________.考点　导数的运算法则题点　导数的运算法则的运用答案　解析　∵f′(x)＝2exf′(1)＋，令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，∴f′(1)＝.例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f