2018_2019学年高中数学导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常见函数的导数学案苏教版

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1、3.2.1　常见函数的导数学习目标：1.能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．　2.能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数．(重点、难点)[自主预习·探新知]基本函数的导数公式(kx＋b)′＝kC′＝0(C为常数)(xα)′＝αxα－1(α为常数)(ax)′＝axln_a(a＞0，且a≠1)(logax)′＝logae＝(a＞0，且a≠1)(ex)′＝ex(lnx)′＝(sinx)′＝cos_x(cosx)′＝－sin_x[基础自测]1．判断正误：(1)(log3π)′＝.(　　)(2)若f(x)＝，则

2、f′(x)＝lnx．(　　)(3)因为(sinx)′＝cosx，所以(sinπ)′＝cosπ＝－1.(　　)(4)f(x)＝a3(a为常数)，f′(x)＝3a2.(　　)【解析】　(1)×.(log3π)′＝0.(2)×.若f(x)＝，则f′(x)＝－.(3)×.(sinπ)′＝0.(4)×.∵a是常数，∴f(x)＝a3是常数，故f′(x)＝0.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．函数y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为________．【解析】　k＝y′

3、x＝2＝(lnx)′

4、x＝2＝

5、x＝2＝.【答案】　[合作探究·攻重难]利用

6、导数公式求函数的导数　求下列函数的导数：(1)y＝x2·；(2)y＝2cos2－1；(3)y＝log2x；(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝.【导学号：95902195】[思路探究]　(3)可直接利用公式求导；(1)(2)(4)(5)(6)需变形之后利用公式求导．【自主解答】　(1)(2)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.(3)y′＝(log2x)′＝.[规律方法]　利用求导公式求函数的导数的两个关注点(1)直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解.(2)变形用公式：对于不能直接利用公式

7、的类型，关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形，合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等.[跟踪训练]1．求下列函数的导函数：(1)y＝2x；(2)y＝；(3)y＝2sincos.利用导数求切线方程　(1)曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为________．(2)过点(3,5)且与曲线y＝x2相切的切线方程为__________．[思路探究]　(1)可直接利用k＝f′(x0)求切线的斜率．(2)点(3,5)不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切

8、线的方程．【自主解答】　(1)∵y′＝3x2，∴k＝3×12＝3，故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)∵点(3,5)不在曲线y＝x2上，∴可设过点(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)．∵y′＝2x，∴当x＝x0时，y′＝2x0，故切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．又∵直线过(3,5)点，∴5－x＝2x0(3－x0)，即x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5.故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.【答案】　(1)3x－y－2＝0　(2)2x－y－1＝0或10x－y－25＝0[规

9、律方法]　1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤[跟踪训练]2．设P(x0，y0)是曲线y＝cosx上的点，在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则P点的坐标为________.【导学号：95902196】【解析】　∵点P处的切线与x＋2y－1＝0平行，∴切线斜率k＝－，∴y′＝－sinx0＝－，∴sinx0＝.又∵x0∈，∴x0＝，∴y0＝cos＝，∴P点为.

10、【答案】　导数的综合应用[探究问题]1．函数y＝f(x)的导数为f′(x)，f′(x0)的几何意义是什么？【提示】　f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．2．在涉及曲线的切线问题时，若切点坐标没有作为条件给出，应如何处理？【提示】　应设出切点坐标，利用k＝f′(x0)，y0＝f(x0)等条件构建方程组求解．3．设某物体运动的位移为y＝f(t)，那么f′(t0)的实际意义是什么？【提示】　f′(t0)是物体在t＝t0时刻的瞬时速度．　(1)曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A

11、为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为________．(2)某质点运动的方程为y＝2x，则在x＝3时的瞬时速度为________.【导