2018年秋高中数学 导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一学案

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1、3.2.1　几个常用函数的导数3.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标：1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－

2、1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝思考：你能根据导数公式(xn)′＝nxn－1，求f(x)＝的导数吗？[提示]　f(x)＝＝x，则f′(x)＝x＝x＝.[基础自测]1．思考辨析(1)(log3π)′＝.(　　)(2)若f(x)＝，则f′(x)＝lnx．(　　)(3)因为(sinx)′＝cos

3、x，所以(sinπ)′＝cosπ＝－1.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．函数f(x)＝0的导数是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．不存在　　　　D．不确定A　[由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A.]3．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝(　　)A．4　　　　B.　　　　C．－4　　　　D．－D　[f′(x)＝－，所以f′(2)＝－＝－，故选D.][合作探究·攻重难]利用导数公式求函数的导数　(1)函数y＝在点处切线的倾斜角α为(　　)【导学号：97792133

4、】A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(2)求下列函数的导数：①y＝x20；②y＝；③y＝log6x；④y＝sin.[解析]　(1)y＝＝x，则y′＝，从而y′

5、x＝＝＝1，即切线的斜率为1，故切线的倾斜角α＝.[答案]B(2)①y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.②y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5.③y′＝(log6x)′＝.④y′＝′＝0.[规律方法]　1.用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的

6、类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．2．已知f(x)，求f′(x0)的方法先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求f′(x0)．[跟踪训练]1．(1)若f(x)＝cosx，则f′＝(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D.[解析]　∵f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx.故f′＝－sin＝－1.[答案]　C(2)求下列函数的导数：①y＝

7、5x；②y＝－；③y＝ln3；④y＝x.【导学号：97792134】[解]　①y′＝(5x)′＝5xln5.②y′＝－(x－5)′＝5x－6＝.③y′＝(ln3)′＝0.④∵y＝x，∴y＝x，.利用导数公式求曲线的切线方程[探究问题]已知曲线的切线的斜率，如何求切线方程？提示：先求切点坐标，再求切线方程．　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[思路探究]　直线PQ的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程．[解]　因为y′＝(x

8、2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′

9、x＝x0＝2x0，又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M.所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.母题探究：1.是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．[解]　假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝＝1，所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，设切点为(x1，y1)，则y′

10、x＝x1＝2x1，令2x1＝－1，则x1＝－，y1＝，切线方程为y－＝－，即4x

11、＋4y＋1＝0.2．若本例中曲线改为y＝lnx，试求与直线PQ平行的切线方程．[解]　设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，则由f′(a)＝＝1，得a＝1，故b＝ln1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.[规律方法]　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.[当堂达标·固双基]1．下列结论：其中正确的有(　　)A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个C　[，(lo