2018年秋高中数学 导数及其应用3.2导数的计算3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二学案

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1、3.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)[自主预习·探新知]导数的运算法则(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数′＝(g(x)≠0)(2)常数与函数的积的导数[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)思考：根据商的导数的运算法，试求函数y

2、＝的导数．[提示]　y′＝′＝＝－.[基础自测]1．思考辨析(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　　)(2)′＝－(f(x)≠0)．(　　)(3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．函数y＝x·lnx的导数是(　　)A．x　　　　B.　　　　C．lnx＋1　　　　D．lnx＋xC　[y′＝(x)′×lnx＋x×(lnx)′＝lnx＋1.]3．函数y＝x4＋sinx的导数为(　　)A．y′＝4x3B．y′＝cosxC．y′＝4x3＋sinxD．y′＝4x3＋cos

3、xD　[y′＝(x4)′＋(sinx)′＝4x3＋cosx．]4．函数y＝的导数为__________.【导学号：97792139】y′＝－　[y′＝＝－][合作探究·攻重难]利用导数的运算法则求导数　求下列函数的导数：(1)y＝＋sincos；(2)y＝x＋2；(3)y＝cosxlnx；(4)y＝.[解]　(1)y′＝′＝(x－2)′＋′＝－2x－3＋cosx＝－＋cosx.(2)y′＝′＝(x3)′－′－(6x)′＋(2)′＝3x2－3x－6.(3)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋.(4)y′＝′＝

4、＝＝.[规律方法]　利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟踪训练]1．(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝(　　)A．－e　　　　　　B．－1C．1D．eB　[f′(x)＝

5、2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1.](2)求下列函数的导数．①y＝x3·ex.②y＝.【导学号：97792140】[解]　①y′＝(x3·ex)＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．②y′＝′＝＝＝－.导数运算法则的应用　(1)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)A．2　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－2(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为__________．[思路探究]　(1)切线与直

6、线ax＋y＋1＝0垂直⇒切线的斜率为.(2)切线与直线2x－y＋1＝0平行⇒切线的斜率为2.[解析]　(1)y′＝′＝＝，则y′

7、x＝3＝－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，故＝－，所以a＝－2，故选D.(2)设P(x0，y0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋1，得y′

8、x＝x0＝lnx0＋1，由题意知lnx0＋1＝2解得x0＝e，y0＝e，故P(e，e)[答案]　(1)D　(2)(e，e)[规律方法]　关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用

9、求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．[跟踪训练]2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.又因为f′(2)＝－b，所以12＋

10、4a＋b＝－b，解得a＝－.所以f(x