函数最值问题揭发的探究 毕业论文

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1、本科生毕业论文函数最值问题揭发的探究院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级：2009级数学与应用数学(2)班学号：200907110218姓名：指导教师：完成时间：2013年5月25日函数最值问题解法的探究摘要函数最值问题是数学领域中的重要研究内容，它不仅只在教学中解决一些数学问题，而且被广泛运用于解决一些生活中的实际问题.比如在工农业生产、经济效益中，经常会遇到一些解决在满足一定条件下如何让产量最多、效益最高但投入最少之类的问题，而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数问题来进行研究，也就

2、是函数最值问题的探讨.这对于需要解决这些实际问题的人们来说非常重要,函数最值问题的解决包括解一元和多元函数的最值，而解法多种多样、灵活多变.本文主要从几种最常见的解法对函数最值问题进行研究探讨，探究各种不同的求解方法，阐述研究函数最值问题解法的重要性，得到求解函数最值的几种常用方法以及求解时应注意的一些问题.关键词函数最值常见方法目录1引言42求函数最值的几种解法探究42.1定义法42.2配方法52.3判别式法72.4换元法82.5均值不等式法92.6单调性法112.7导数法122.8平方法132.9数形结合法

3、142.10线性规划法153求解函数最值时应注意的一些问题163.1定义域163.2值域173.3参变量的约束条件183.4判别式的运用193.5均值不等式的运用194函数最值在实际问题中的应用22结论24谢辞25参考文献261引言随着我们对函数学习和认识的不断深入，让我们逐渐揭开了函数神秘的面纱.看到了它诸多性质和特点，而有关函数最值问题的解法就是与函数性质和特点密切相关的重要知识点.函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分，许多学生对该问题的理解不深刻，应用它处理问题

4、也是异常模糊，有的同学甚至不知道如何着手.处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化.虽然解决问题的方法各种各样、灵活多变，但就其思维方式来说，通常都是将问题逐步进行转化，直到转化为一类较容易解决或者已经解决的问题，从而获得原问题的解答［1］.最值问题是函数研究中极为重要的一个问题，在实际生活中会遇到求最大经济效益、最短路径选取等问题，对于这类问题就可以转化为数学中求最值的问题，通过解决数学问题来最终达到解决现实问题的目的［2］.函数最值问题发展至今已遍及代数、三角、立体几

5、何及解析几何各科之中，在各类考试中最值问题也是热门的考点之一.因此，对函数最值问题解法的归纳总结以及创新,对我们学习函数、应用函数最值问题具有重要意义.挖掘其内在联系，能使我们更清楚的认识它，达到熟悉掌握并且应用它来帮助我们解决实际问题.2求函数最值的几种解法探究2.1定义法函数最值的定义函数的最值分为最大值和最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值，记作ymax=M

6、.设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值，记作ymin=m.我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题.例1．设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R,使得对任意x∈R,且x≠x0,有f(x)﹤f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;③若存在x0∈R,使得对任意

7、x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;这些命题中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析根据函数最值的定义知，①是假命题；虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故①错误，②，③正确，实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件，故选C.注意利用定义解决函数最值的相关问题时，重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用，函数一定有值域，但不一定有最值，如函数f(x)=的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），但它没有最大值，也没有最小值.2.2配方法如果给定函数是二次

8、函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用配方法求解.配方法是求二次函数最值的基本方法，利用配方可把二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）(1)化成顶点式y=a(x+m)2+k,(2)其中m=,k=,从而求出二次函数的最大或最小值.如F(x)=af2(x)+bf(x)+c形式的函数的最值问题，也可以考虑用配方法.即：F(x)=af2(x)+bf(x)+c=a[f2(x)+f(