2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程训练案北师大版

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1、3.1.1椭圆及其标准方程[A.基础达标]1．设α∈，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　)A.　　　　　　　B.C.D.解析：选C.由题意可得：0＜sinα＜cosα，又因为α∈，所以α∈.2．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)A.B.C.D.解析：选C.因为·＝0，所以⊥，故

2、MF1

3、2＋

4、MF2

5、2＝

6、F1F2

7、2＝4c2＝12，①

8、MF1

9、＋

10、MF2

11、＝2a＝4，②，由①②得

12、MF1

13、·

14、MF2

15、＝2.故点M到x轴的距离为＝＝.3．已知周长为16的△ABC的两顶点与椭圆M的两个焦点重合，另一个顶点恰好在

16、椭圆M上，则下列椭圆中符合椭圆M条件的是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A.不妨设B、C分别为椭圆M的两个焦点，点A在椭圆上，故

17、AB

18、＋

19、AC

20、＝2a，

21、BC

22、＝2c，

23、AB

24、＋

25、AC

26、＋

27、BC

28、＝2a＋2c＝16，即a＋c＝8.对于A：a＋c＝8，满足要求；对于B：a＋c＝5＋4＝9，排除B.对于C：a＋c＝4＋，排除C；对于D：a＋c＝3＋，排除D.故选A.4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且b＝2的椭圆方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D.9x2＋4y2＝36的焦点坐标为(0，±)．对于A：焦点坐标为(±，0)，b＝2，排

29、除A；对于B：焦点坐标为(0，±)，b＝4，排除B；对于C：焦点坐标为(0，±5)，b＝2，排除C.选项D符合要求．5.如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则

30、ON

31、(O为坐标原点)的值为(　　)A．8B．2C．4D.解析：选C.由椭圆定义知

32、MF1

33、＋

34、MF2

35、＝2a＝10，又

36、MF1

37、＝2，所以

38、MF2

39、＝8，由于N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以

40、ON

41、＝

42、MF2

43、＝4.6．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且

44、F1F2

45、是

46、PF1

47、与

48、PF2

49、的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．解析：由题意得：

50、PF1

51、＋

52、P

53、F2

54、＝2

55、F1F2

56、＝4>

57、F1F2

58、＝2，所以动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，轨迹方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．解析：由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为∠F1PF2为直角，所以·＝0，即x＋y＝4，①又＋y＝1，②①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.答案：±8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点是F1，F2，P是椭圆上的

59、一动点，如果延长F1P到Q，使得

60、PQ

61、＝

62、PF2

63、，那么动点Q的轨迹是________．解析：如图，依题意：

64、PF1

65、＋

66、PF2

67、＝2a(a＞0是常数)．又因为

68、PQ

69、＝

70、PF2

71、，所以

72、PF1

73、＋

74、PQ

75、＝2a，即

76、QF1

77、＝2a.所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．答案：以F1为圆心，2a为半径的圆9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且

78、BC

79、＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．解：由已知条件可得b＋c＝2a，则

80、AC

81、＋

82、AB

83、＝2

84、BC

85、＝4>

86、BC

87、，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2

88、.以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A所在的椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分除去与x轴，y轴的交点．10．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，(1)若PF1⊥PF2，且

89、PF1

90、>

91、PF2

92、，求的值．(2)当∠F1PF2为钝角时，求

93、PF2

94、的取值范围．解：(1)因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则

95、F1F2

96、2＝

97、PF1

98、2＋

99、PF2

100、2.所以解得

101、PF1

102、＝4，

103、

104、PF2

105、＝2，所以＝2.(2)设

106、PF1

107、＝r1，

108、PF2

109、＝r2，则r1＋r2＝6.因为∠F1PF2为钝角，所以cos∠F1PF2<0.又因为cos∠F1PF2＝<0，所以r＋r<20，所以r1r2>8，所以(6－r2)r2>8，所以2

110、PF2

111、的取值范围是(2，4)．[B.能力提升]1．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分