高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

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1、平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。8.三角形法则：；；（指向被减数）9.平行四边形法则：以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。11.基底：任意不

2、共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若，则，，13.数量积与夹角公式：；14.平行与垂直：；题型1.基本概念判断正误：（1）若与共线，与共线，则与共线。（2）若，则。（3）若，则。（4）若与不共线，则与都不是零向量。（5）若，则。（6）若，则。题型2.向量的加减运算64.已知的和向量，且，则，。5.已知点C在线段AB上，且,则，。题型3.向量的数乘运算2.已知，则。题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示。2.在平行四边形中，已知，求。题型5.向量的坐标运算6.已知，，，则。7.已知是坐标原点，，且，求

3、的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.B.C.D.题型7.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。题型8.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。题型9.求向量的夹角63.已知，，，求。题型10.求向量的模1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度

4、×

5、=

6、

7、

8、

9、sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则

10、×（+）

11、=（　　）　A．4B．C．6D．21.已知，且与的夹角为，求（1

12、），（2）。3.已知，，求。题型11.求单位向量【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是2.与平行的单位向量是。题型12.向量的平行与垂直1.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时向量与平行？2.已知是非零向量，，且，求证：。3．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（　　）　A．B．C．D．6题型13.三点共线问题3.已知，则一定共线的三点是。4.已知，，若点在直线上，求的值。5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？题型14.判断多边形的形状1．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边

13、界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（　　）　A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形2.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围。2.已知三个顶点的坐标分别为，，，（1）若，求的值；（2）若，求的值。6提高题1．设向量=，=不共线，且

14、+

15、=1，

16、﹣

17、=3，则△OAB的形状是（　　）　A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则

18、

19、的

20、最小值为（　　）　A．B．C．D．23．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（　　）　A．﹣B．C．﹣D．4．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（　　）　A．B．C．1D．25．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（　　）　A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形66．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的

21、面积之比等于（　　）　A．B．C．D．7．在△ABC中，

22、AB

23、=3，

24、AC

25、=2，=，则直线AD通过△ABC的（　　）　A．垂心B．外心C．重心D．内心8．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（　　）　A．B．C．D．（向量数量积的运算坐标化）9．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（　　）　A．B．C．D．10．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的集合；（2）若，且

26、﹣

27、=，求的值．11．已知向量且，函数f（x）=2（

28、I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值．DBBBDCDAB6