高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结

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1、《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。8.三角形法则：；；（指向被减数）9.平行四边形法则：以为邻边的平行四边形的两条对角线分别为，。10.共线定

2、理：。当时，同向；当时，反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若，则，，13.数量积与夹角公式：；14.平行与垂直：；题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若与共线，与共线，则与共线。（8）若，则。（9）若，则。（10）若与不共线，则与都

3、不是零向量。（11）若，则。（12）若，则。题型2.向量的加减运算1.设表示“向东走8km”,表示“向北走6km”,则。2.化简。3.已知,,则的最大值和最小值分别为、。4.已知的和向量，且，则，。5.已知点C在线段AB上，且,则，。题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）（2）2.已知，则。题型4.作图法球向量的和已知向量，如下图，请做出向量和。题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示。2.在平行四边形中，已知，求。题型6.向量的坐标运算1.已知，，则点的坐标是。2.已知，，则点的坐标是。

4、3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为。4.已知，，求，，。5.已知,向量与相等，求的值。6.已知，，，则。7.已知是坐标原点，，且，求的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.B.C.D.2.已知，能与构成基底的是（）A.B.C.D.题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。题型9.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。2.已知，求（1），（2

5、），（3），（4）。题型10.求向量的夹角1.已知，，求与的夹角。2.已知，求与的夹角。3.已知，，，求。题型11.求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。2.已知，求（1），（5），（6）。3.已知，，求。题型12.求单位向量【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是。2.与平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时，向量与平行？3.已知是非零向量，，且，求证：。题型14.三点共线问题1.已知，，，求证：三点共

6、线。2.设，求证：三点共线。3.已知，则一定共线的三点是。4.已知，，若点在直线上，求的值。5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？题型15.判断多边形的形状1.若，，且,则四边形的形状是。2.已知，，，，证明四边形是梯形。3.已知，，，求证：是直角三角形。4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.已知，，当为何值时，向量与平行？2.已知，且，，求的坐标。3.已知同向，，则，求的坐标。3.已知，，，则。4.已知，，，请将用向量表示向量。5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，

7、求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围。6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标。8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度。10.已知三个顶点的坐标分别为，，，（1）若，求的值；（2）若，求的值。【备用】1.已知，求和向量的夹角。2.已知，，且，，求的夹角的余弦。1.已知，则65。4.已知两向量，求当垂直时的x

8、的值。5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围。变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到，。2.代入验证法例：已知向量，则（D）A.B.C.D.变式：已知，请用表示。解：设，