必修4平面向量典型例题及提高题(精修)

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1、平面向量【基本概念与公式】1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。8.三角形法则：；；（指向被减数）9.平行四边形法则：以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若，则，，13.数量积与夹角公式：；14

2、.平行与垂直：；5题型1.基本概念判断正误：（1）若与共线，与共线，则与共线。（2）若，则。（3）若，则。（4）若与不共线，则与都不是零向量。（5）若，则。（6）若，则。题型2.向量的加减运算1.已知点C在线段AB上，且,则，。题型3.向量的数乘运算2.已知，则。题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示。题型5.向量的坐标运算1.已知是坐标原点，，且，求的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：()A.B.C.D.题型7.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。题型8.

3、求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。题型9.求向量的夹角3.已知，，，求。5题型10.求向量的模1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度

4、×

5、=

6、

7、

8、

9、sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则

10、×（+）

11、=（　　）　A．4B．C．6D．21.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。3.已知，，求。题型11.求单位向量1.与平行的单位向量是2.与平行的单位向量是。题型12.向量的平行与垂直1.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时向量与平行？2．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（　　）

12、　A．B．C．D．题型13.三点共线问题3.已知，则一定共线的三点是。4.已知，，若点在直线上，求的值。5题型14.判断多边形的形状1．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（　　）　A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形2.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围。2.已知三个顶点的坐标分别为，，，（1）若，求的值；（2）若，求的值。提高题1．设向量=，=不共线，且

13、+

14、=1，

15、﹣

16、=3，则△OAB的形状是

17、（　　）　A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2.已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（　　）　A．B．C．1D．253．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（　　）　A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，

18、AB

19、=3，

20、AC

21、=2，=，则直线AD通过△ABC的（　　）　A．垂心B．外心C．重心D．内心5．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分

22、点，则=（　　）　A．B．C．D．（向量数量积的运算坐标化）6．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（　　）　A．B．C．D．7．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的集合；（2）若，且

23、﹣

24、=，求的值．8．已知向量且，函数f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求tanx及的值．5