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1、毕业论文题目留数定理在计算积分中的应用系别数学与计算机科学系专业数学与应用数学姓名史开仁指导教师孙小康老师2011年5月留数定理在计算积分中的应用史开仁铜仁学院数学与计算机科学系，铜仁 554300摘 要留数定理是柯西积分定理应用层次方面推广，是柯西积分公式的更一般的形式，柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的基本定理和公式，留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物.利用留数定理计算实变函数积分的方法与实函数积分方法的对照,具体地说就是把求实积分转化为复变函数沿围道的积分,再将积分计算转化为留数计算.关
2、键词 留数定理、积分、柯西积分ResiduetheoremincalculatedintegralapplicationShikai-renTongrenUniversityandMathematicsandcomputerscienceTongren,554300Abstract ResiduetheoremandCauchyintegraltheoremisextensionapplicationlevels,isthemoregeneralintegralformulasofCauchyformof
3、CauchyintegraltheoremandCauchyintegralformulaiscomplex-variablefunctiontheory,thebasictheoremandformula,residuetheoremiscomplexintegralandcomplexcombinationofprogressiontheory.Usetheresiduetheoremcalculationrealvariablefunktionintegralmethodandtherealfunc
4、tionintegrationmethodofcontrol,specificallyisrealisticandintegralintocomplex-variablefunctionandintegralalongthecircumferencewayandintegralcalculationconvertedtokeepcount.Keywords Residuetheorem,integral,Cauchypoints引言在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具
5、，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。留数在复变函数论本身实际应用中都是很重要的，它和计算周线（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此外应用留数理论，我们有条件去解决“大范围”的积分计算问题，就是用微圆法求积分那样，还可以考察区域函数的零点分布的情况，将留数定理应用在计算积分中，将会使计算更加简便，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，更是一个有效的方法，而其最关键的将它化归为复变函数的周线积分。应用留数计算定积分,在于选择一个适宜的辅佐函数和一条相应的积分途径(
6、周线),从而把定积分的计算化成沿闭路的复积分的计算.但当被积函数或辅佐函数是多值解析的,则要适当割开平面,使其能分出单值解析分支,才干运用柯西积分定理或柯西留数定理来求出给定的积分的值.一、留数的定义及留数定理柯西积分定理：设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则 柯西积分公式：若函数在闭围道的内部及其上是解析的，又若是内部的点，则：如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a，则根据柯西积分定理但是，如果a是f(z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个
7、去心邻域内，并且包围点a，则积分的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。定义1.1设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域内解析，则积分为f(z)在点a的留数（residue）,记为Resf(z).定理1.1f(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分） 证明：以为心，充分小的正数为半径画圆周线，使这些圆周及其内部均含于D，并且彼此互相隔离（如图1.1）。应用复周线的柯西积分定理得： 图
8、1.1二、留数的求法定理2.１ 设a为的n阶极点，其中在点a解析，，则 Res这里符号代表，且有证明:推论2.２ 设a为的一阶极点， ，则推论2.3 设a为的二阶极点， ，定理2.4 设a为的一阶极点（只要及在点a解析，且）则证明：因为a为的一阶极点，故 三、函数在无穷远点的留数无穷远点是解析函数孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,
