毕业论文--矩阵的秩的性质及其应用 

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1、安阳师范学院本科毕业论文矩阵的秩的性质及其应用作　　者　　张乾龙　系（院）　　数学与统计学院　　专　　业　　数学与应用数学　　年　　级　　2010级学　　号　　100801069　　指导教师　　李波　论文成绩日　　期　诚信承诺书郑重承诺：所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明

2、确的说明并表示了谢意。作者签名：　　　　　　　　　　日期：　　　　　　　　导师签名：　　　　　　　　　　日期：　　　　　　　　院长签名：　　　　　　　　　　日期：　　　　　　　　论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。保密论文在解密后遵守此规定。作者签名：　　　　　　　　导师签名：　　　　　　　日期：矩阵的秩的性质及其应用张乾龙（安阳师范学院数学与

3、统计学院河南安阳455002）摘要:文章总结了矩阵的秩的相关性质,并且用定理和实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系、求解线性方程组、判断空间中点线面的位置关系、二次型、线性变换等方面的应用.关键词:矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换1基础知识矩阵理论是高等代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论在线性代数中，还是在解析几何中，都

4、有不可忽略的作用.下面我们就给出了矩阵的秩的定义：定义1向量组的极大无关组所含的向量的个数称为这个向量组的秩定义2矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，矩阵行向量组的秩称为矩阵的行秩。定义3矩阵的列秩等于矩阵的行秩，统称为矩阵的秩。定义矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩。矩阵的秩记为秩或。2矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质是对矩阵的秩的运用的进一步的总结。下面我们就来总结矩阵的一些性质。1)若是可逆矩阵，则有;2)矩阵的初等行变换不改变行向量的秩;3)矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩

5、阵的列秩，即设矩阵经过初等行变换变成矩阵，则矩阵的列向量组线性相关当且仅当矩阵的列向量组线性相关.设矩阵经过初等行变换变成矩阵，并且矩阵的第列构成矩阵的列向量组的一个极大无关组，则矩阵的第列构成矩阵的列向量组的一个极大无关组;从而.3)任意矩阵的行秩等于它的列秩;4)矩阵的秩等于矩阵的转置的秩;5)任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数;(任一非零矩阵的行秩等于它的列秩，并且等于矩阵的不为零的子式的最高阶数.)6)一个级矩阵的秩等于当且仅当;7)设矩阵的秩为r，则矩阵不等于零的r阶子式所在的列(行)

6、构成的矩阵的列(行)向量组的一个极大无关组;8)非零矩阵不等于零的子式的最高阶数称为矩阵的行列式秩，它的行列式秩与矩阵的秩相等;9)矩阵和的秩不超过矩阵秩的和，即第13页10)矩阵与数的乘积的秩当时，.当时，.11)矩阵乘积的秩不超过个因子的秩，即12)矩阵与矩阵的乘积的秩不小于矩阵与矩阵的秩的和减去，即3矩阵的秩的应用3.1矩阵的秩与向量的关系高等代数中，判断向量组的线性相关性时，我们的依据是项链组中的一个向量是否可以由其余向量线性表出来。这种做法简单易懂，但对一些较为复杂的这类问题的时解法复杂，上述方法

7、有一定的局限性，我们可以运用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题。3.1.1线性相关性的判断1)定义法如果在数域P中，存在不全为零的数，，…,,使得则称向量组，，…，线性相关；如果只有当时上式成立，则称向量组，，…，线性无关。2)利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系对于n维向量组，，…，,以各向量构成一个矩阵：先求出的秩。当

8、等变换(第1行加到第2行上，第1行乘以-2加到第3行上；再把第2行乘以3加到第3行上)，可把矩阵化为如下阶梯形矩阵：求得=2<3,故向量组线性相关.第13页3.1.2极大线性无关组定义4在向量组，，…，中，如果一部分向量组线性无关，并且从向量组中任意添加一个向量(如果还有的话)，所得的部分组都线性相关则称为向量组，，…，的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组所含的向量的个数r称为这个向量组的秩，记为(，，…