高数2-1试卷及答案

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1、2015—2016学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷(工科类）附参考答案及评分标准一．（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.1．函数在内的驻点一定是极值点.2．反常积分是发散的.3．设函数、在的某邻域内连续，且当时是的高阶无穷小，则当时，是的高阶无穷小.即当时，是的高阶无穷小.二．（共3小题，每小题6分，共计18分）1.求极限.2.求由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数.3．设

2、，求（其中为常数，）.三．（共3小题，每小题6分，共计18分）1．设函数在处可导，试确定常数的值.2．设曲线的方程为，求此曲线在处的法线方程.3．试确定曲线中的，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上.第33页共8页四．（共3小题，每小题6分，共计18分）1．设，求不定积分.2．求定积分.3．已知，求的值.五．（本题8分）设为曲线与直线，轴、轴所围成的平面图形，求：(1)的面积；（4分）(2)绕轴旋转一周所得的旋转体体积.（4分）六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．一等腰梯形闸门，它

3、的两条底边各长和，高，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力，其中水的密度为，重力加速度为.2．一立体的下部为圆柱体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体，若该物体的体积为常数，问圆柱体的高和底圆半径为多少时，此立体有最小表面积.（常用公式：半径为的球的体积公式为，表面积公式为.）七．（共2小题，共计9分）1．求微分方程的通解.（5分）2.求微分方程的通解.（4分）八．（本题5分）设函数在上连续，在内可导且，证明：至少存在一点，使得.第33页共8页2015—2016学年第一学期高等数学（2

4、-1）（工科类）期末试卷(A)参考答案一．（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.1．函数在内的驻点一定是极值点.（）反例：函数在处满足，即为驻点，但不是在内的极值点．2．反常积分是发散的.（√）证明：由于，又，故反常积分发散.3．设函数、在的某邻域内连续，且当时是的高阶无穷小，则当时，是的高阶无穷小.（√）证明：由于当时是的高阶无穷小，即，则，即当时，是的高阶无穷小.二．（共3小题，每小题6分，

5、共计18分）1.求极限.解：=2.求由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数.第33页共8页解：3．设，求（其中为常数，）.解：，则，故三．（共3小题，每小题6分，共计18分）1．设函数在处可导，试确定常数的值.解：由于在点处可导，故点处连续，又，故由，得.又，，由，得.2．设曲线的方程为，求此曲线在处的法线方程.解：方程两边对求导，得，又当时，解得，代入上式得，故曲线在处的法线方程为，即第33页共8页3．试确定曲线中的，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上.解：由于曲线在处曲线有水平切

6、线，为拐点，故，，又，，可得，又由于为拐点，且点在曲线上，可得，联立解得四．（共3小题，每小题6分，共计18分）1．设，求不定积分.解：不定积分两边求导得：，即，故2．求定积分.解：由定积分的对称性质，可得，，令，则，且当时，，当时，，故故3．已知，求的值.第33页共8页解：由于，故=1，得五．（本题8分）设为曲线与直线，轴、轴所围成的平面图形，求：(1)的面积；（4分）(2)绕轴旋转一周所得的旋转体体积.（4分）解：（1）（2）利用柱壳法公式：或六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．一等腰

7、梯形闸门，它的两条底边各长和，高，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力，其中水的密度为，重力加速度为.解：建立坐标系（原点在顶端中点，轴竖直向下，轴水平向右），设为水深，选为积分变量，，，则对应的闸门小窄条上各点处的压强近似为，小窄条的面积近似为，又，得，故，第33页共8页得2．一立体的下部为圆柱体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体，若该物体的体积为常数，问圆柱体的高和底圆半径为多少时，此立体有最小表面积.（常用公式：半径为的球的体积公式为，表面积公式为.）解：由于立体表面积，且满足

8、，可得，即，由，可推知，又，令，得符合实际意义唯一的驻点，此时，故当时，立体的表面积有最小值.七．（共2小题，共计9分）1．求微分方程的通解.（5分）解：对应的齐次方程的特征方程为，得特征根为，由于为特征单根，故可设方程特解为，代入方程可得，即，又齐次方程的通解为，故所求微分方程的通解为.2.求微分方程的通解.（4分）解：由通解公式，可得八．（本题5分）设函数在上连续，在内可导且，证明：至少存在一点，使得.证明：令，则，，又第33页共8页，由闭区间上连续函数的零点定理，存在，使得，