高考专题---向量的性质及其应用备战2019年高考数学二轮复习热点---精校解析Word版

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1、高考专题09向量的性质及其应用专题点拨1．能灵活运用两个重要结论解决问题：(1)(D是BC中点).(2)已知点不共线，且，则点共线的充要条件是.【例2】已知平面向量、满足条件：，，，，若向量．且，则的最小值为　　．【答案】【解析】由题意可设，，，且设，，，，则，即，在以为圆心，以为半径的圆上，，，故答案为：．【变式训练2】已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为　　．【答案】【解析】，，令，则，点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则，点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，最大值为，即最大值为．故答案为：．【例3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、、

2、，，则．【答案】【解析】欲得到，可用与已知等式作数量积，即，结合投影的几何意义，有(过O作，则D是AC中点)将数值代入化简，得.将用表示，可得.【变式训练3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、、．若，则______________．【答案】【解析】方法一两边平方，得.因此，.方法二分析设.分别用与作数量积，可得巩固训练一、填空题1.已知点，设、是圆上的两个不同的动点，且向量（其中为实数），则　　．【答案】3【解析】由向量（其中为实数），可得：，，三点共线，且，同向，设圆与轴正半轴交于点，由圆的割线定理可得，，故答案为：32.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点

3、是边（包含端点上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为　　．【答案】23.已知圆，圆．直线、分别过圆心、，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为　　．【答案】3【解析】由题意可得，，，，，，为椭圆上的点，由题意可知，，，故答案为：8．4.已知平面向量、、满足，，且，则当时，的取值范围是　　．【答案】【解析】设，则，，，又，，，，即．故答案为：，．5.已知、、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是　　．【答案】【解析】如图所示，取，不妨设，．，．，，，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是．故答案为：．6.已知中，，，，

4、是内一点，使得，设垂直于，垂直于，则　　．【答案】【解析】以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，在中，由，，，得，，，，，，设，则，，，由，得，即．设，则，由，得．，，而，，，．故答案为：．二、选择题7．设表示平面向量，，都是小于9的正整数，且满足，，则和的夹角大小为　　A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得：，由，又因为，都是小于9的正整数，则，，又，所以，所以，又，所以，故选：．8．在平面直角坐标系中，已知向量，是坐标原点，是曲线上的动点，则的取值范围　　A．，B．C．D．【答案】A【解析】去绝对值整理后知，曲线为菱形，易知，，故当点在曲线

5、上运动时，在上的射影必在上，且当在上时得到最大值，在上时得到最小值，最大值为，最小值为，故选：．9．已知点，，为曲线上任意一点，则的取值范围为　　A．，B．，C．D．【答案】A【解析】设则由可得，令，，，，，，，，，，故选：．三、解答题10.已知点是的中线上任意一点，且，实数满足：.记，，，，，若乘积取最大值时，求此时的值.11.已知为坐标原点，向量，，，，．（1）求证：；（2）若是等腰三角形，求的值．12.如图，在平面上，点，点在单位圆上，（1）若点，，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围．【解析】（1），，，．．．（2），，，，，，，，．