数学分析论文--定积分及其简单应用漫笔

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1、数学分析论文课题：定积分及其简单应用漫笔学生姓名：欧习昌学号：110701010039系部：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2011数本1班指导教师：目录摘要1关键字1引言1第一部分定积分的基础知识1定积分的概念1.1定积分的定义1.2定积分的几何意义2定积分存在的条件2.1定积分存在的必要条件2.2定积分存在的充要条件2.3可积函数类3定积分的性质3.1基本性质3.2积分中值定理4定积分的计算方法4.1定积分计算的基本公式4.2定积分的换元公式4.3定积分的部分积分公式4.4杂例积分第二部分

2、定积分的简单应用1定积分在平面几何的应用·1.1微元法·1.2用定积分求平面图形的面积·1.3极坐标下平面图形的面积·2应用定积分求旋转体的体积·2.1平行截面积已知的立体体积.·2.1.1旋转体体积·3定积分在物理上的应用·3.1质心·3.2变力做功·3.3电学上的应用·4.定积分在经济中的应用·总结·参考文献·定积分及其简单应用漫笔摘要：该篇论文着重讨论积分学的另一个重要的基本问题——定积分。先从定积分的基础知识：积分的概念，积分的充要条件，积分性质，积分计算方法讨论；再来讨论定积分的简单应用。关键词：

3、定积分积分中值积分换元几何物理应用引言定积分是人们在解决实际问题过程中产生，逐渐发展完善起来的，不论在理论还是在实际应用上，都起到十分重要的意义，并且揭示定积分与不定积分之间的关系。同时，定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用。第一部分定积分的基础知识1定积分的概念1.1定积分的定义定义设函数在区间上有定义，任取分点把区间任意分割成个小区间，第个小区间的长度为，记.在每个小区间上任取一点作和式，当时，若极限存在，则称函数在上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即.其中，“”称为被积函数，“”

4、称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间.1、2定积分的几何意义1设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的曲边梯形的面积记为.由定积分的定义，知（1）当时，（2）当时，（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有其中分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.2定积分存在的条件2、1定积分的必要条件定理1若函数在区间上

5、可积，则在上有界。2、2定积分充要条件设函数在有界，在插入分点2把分成个小区间，记作和式分别成为对于分割的达布上和与达布下和，它们具有以下性质。性质1如果在原有的分点上加入新的分点，则上和不增，下和不减。性质2对于一切分法，上和集合{S}有下界m(b-a),下和集合{S}有上界M(b-a).性质3任一个下和S总不超过任一个上和S,即使是对应于不同分法的上和与下和。定理2（定积分存在的第一充要条件）函数在上可积的充分必要条件是或定义记，称之为在上的幅度，则有定理3（定积分存在的第二充要条件）函数在上可积的充分

6、必要条件是对任意的两个正数及，可找到，使当任一分法满足时，对应于幅度的那些区间的长度之和。2、3定积分函数类3（1）若函数为上的连续函数，则在上可积。（2）若是区间上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则在上可积。（3）若是区间上的单调函数，则在上可积。以黎曼函数为例在不可积，但。3定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，为了计算的方便，可以推出定积分具有下述性质，以下所涉及函数讨论的区间上都是可积的.性质1性质2.注：可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.性质3（积分的可加性）.注：

7、由于的不确定性，知不论是在之内，还是在之外，这一性质均成立.性质4.性质5（积分的保序性）.性质6（积分估值定理）如果函数在区间上有最大值和最小值,则4性质7(积分中值定理)如果函数在区间上连续,则在内至少有一点,使得.性质8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设在对称区间上连续,则有①如果为奇函数,则；②如果为偶函数,则.3定积分值求解法定积分是特定形式的极限，如果直接利用定义计算定积分是非常繁杂的，有时甚至无法计算.以下将介绍定积分计算的有力的几种方法工具。3、1变上限定积分定义设函数在区间上连续，对于任意

8、，在区间上也连续，所以函数在上也可积.因此是定义在上的函数.记为，.称叫做变上限定积分,又称为变上限积分函数.函数具有如下重要性质.性质1如果函数在区间上连续，则在上可导，且.由性质1知，如果函数在区间上连续，则函数就是5在区间上的一个原函数.性质2（原函数存在定理）如果在区间上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为：.这为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例5.2.1计算.解==.3.2微积分的基本公