论文资料：定积分及其应用

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1、精品文档免费阅读免费分享如需请下载！第五章定积分及其应用一、内容分析与教学建议（一）定积分与不定积分构成积分学的全貌，为了进一步运用数学分析的方法解决实际问题，定积分的思想、概念、理论和计算方法是不可缺少的数学基础。本章的基本知识结构是从实际问题引入定积分概念，然后建立一整套理论和微积分基本公式，从而完成各种计算方法的建立，最后给出微小元素的思想及步骤。（二）定积分概念、牛顿–莱不尼兹公式关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进

2、行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。定积分的性质和牛顿–莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。（三）换元积分法、分部积分法换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。（四）广义积分广义积分作为

3、定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限，应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。（五）微元法（定积分应用）定积分应用应着重讲透处理问题的思想方法微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。请下载！精品文档免费阅读免费分享如需请下载！二、补充例题例1.设连续，且，求.解：记，则两端积分得：，例2.证明不等式证：，故即上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0，即得：.例3

4、.设在连续且递减，证明：当时，.证：，，又证，作，则只需证：，请下载！精品文档免费阅读免费分享如需请下载！又，故当，例4．设在上有一阶连续导数，证明：证：由积分中值定理，即，例5.设在上连续，，，，证明：.证：由在上连续，故有最大值，，分别在区间，上应用拉格朗日中值定理，有：，，从而例6.设，在上连续，证明至少存在一个使请下载！精品文档免费阅读免费分享如需请下载！证：作，由于，在上连续，所以在上连续，在内可导，并有由罗尔定理，存在，使，即例6.设连续，证明：证：令，则（对第二个积分，令）例7.设函数在上连续且单

5、调增加，证明在内存在点，使曲线与两直线，所围平面图形面积是曲线与两直线，所围图形面积的三倍。证：设是上任一点，与分别表示图中两块曲边三角形面积，由于是的连续函数，只要证明该函数在内有零点即可。构造函数请下载！精品文档免费阅读免费分享如需请下载！由于连续，因此2在上连续，又由连续函数介值定理知，使故即例6.设平面图形A由与所确定，求图形A绕直线旋转一周所得的旋转体体积解：因与直线的交点为和，选为积分变量，，相应平面图形绕旋转一周所得的旋转体的体积微元为其中，，故得：积分得：第一个积分中，令，得例10.设函数在闭区

6、间，在开区间内大于零，并满足（常数），又曲线与，所围图形的面积值为，求函数请下载！精品文档免费阅读免费分享如需请下载！，问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小？解：由题设知，当时，即，由在连续性得，又由已知条件得：从而，因此由于旋转体的体积为令，，所以当时，该旋转体体积为最小。请下载！精品文档免费阅读免费分享如需请下载！三、补充练习1.求.（0）2.求①②（①②）3．设，求.4．函数在上连续，证明：，并由此计算5．求①②6．设函数在上，且，则在内至少存在一点，使得7．设，求8.若曲线与轴，轴所围成的面

7、积被曲线和三等分，试确定，之值9.求曲线，直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周所产生的旋转体体积10.半径为的球沉入比重为1的水中，水平面恰好淹没球面，问把球从水中取出需作多少功？请下载！