数学建模集训讲义(9-9)节

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1、§9零件的参数设计（1997年全国大学生数学建模竟赛A题）一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数.零件参数包括标定值和容差两部分.进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围.若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍.进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差.这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制

2、造成木，容差设计得越小，成本越高.试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法.粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作坷，勺,…,^）决定,经验公式为：1-2.621-0.36y的冃标值（记作儿）为1・50・当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1,000（元）；当y偏离儿±0・3时，产品为废品，质量损失为9,000（元）・零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表不，A等为±1%,B等为±5%,C等为±10%・7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如

3、下表（符号/表示无此等级零件）:标定值容许范围C等B等A等X][0.075,0.125]/25/X2[0.225,0.375]2050/X3[0.075,0.125]2050200x4[0.075,0.125]50100500Xs[1.125,1.875]50//x6[12,20]1025100x7[0.565,0.935]/25100现进行成批生产，每批产量1,000个.在原设计中，7个零件参数的标定值为:X1二0.1,X2=0.3,X3=0.1,X4=0.1,X5=l.5,X6=16,X7=0.75；容差均取故便宜的等级.请你综合考

4、虑y偏离儿造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容许差），并与原设计比较，总费用降低了多少.一、模型假设1.零件参数州,吃,・・・,£为相互独立的随机变量，期望值和均方差分别记作心和5（心1,2,…/）,（绝对）容差记作—36,相对容差记作右9/=（G…・XiO2.产品参数y由州，兀2，・・・,£决定，记作丁=/（兀1，•・•,£）・由于兀•偏离兀0很小，可在兀°=（州0,…，£o）处对/作Taylor展开,并略去二阶及以上项有》=/（*）+£%（吗一无0），其中％=薯小.于是随机变量丁的期望值为Ey=f（x°）,方差为o

5、■:=•注意到2=四—&心1x/o'乂可表示为・注：兀元函数/（西,兀2,…,£）在（兀io,兀20,…％）处的Taylor公式可写为/（西，兀2,•…,£）=/（兀］0，兀20,•…,£o）a（、q亦+•••+（—临（加+1世5底/（西o+&（西一码。），•…,入f（兀10，兀20,…，兀“°）m+Xn0+&（£-兀G)・1.y偏离冃标值儿造成的（单件产品）质量损失记作厶（刃・由题冃所给数据可设厶0）与b-）沙成正比.即厶（y）=k（y-儿『，且可得Z:=103/0.12=105・4•成批生产时平均每件产品的损失为2o（*,f）=E

6、L（y）=kE（y-yQ）「-

7、2r?9_=也［（£>-儿）+（丁-£>）［=kE（Ey-yQ）+（y_Ey）=k（Ey-y^f+aj=£（/（%）-儿『+£睿（％订•5.单件产品的零件成本仅取决于和对容差（等级）C，记作血,于是零件成本为c（z）=i0,（1,）,其数值已由题目给出.;=16.综合考虑y偏离儿造成的损火和零件成木，将木问题的冃标函数二、模型P：MinZ(+S)=k(/X*)—(/兀也)2+£q(£)J7Z=1/=1S.t.a.t

8、・•,—）的取值共有2X3X3X3X2=108对每个固定的/=（i…几）值，求解子问题：£：Minz,(x°)=Z:[/(x°)-y0]2+

9、f(<)2s.t・6/.©），得到问题卩的最优解厂彳鬧…工；）/=1和八=（£,•••,/,:）及最优值/•结果可以设计一种迭代程序求解结果.对固定的*,求解人得到疋，然后对不同的/,比较z（x°*,r）,记使z（x°*,r）达到最小的，为几若—°，则停止,尹，八即为最优解

10、;否则以广代替几进行迭代.我们的结果是%**=(0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5625),*=(0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.05,0.