数学建模集训讲义(10-10)节

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1、§10自动化车床管理（1999年全国大学生数学建模竞赛A题）一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%,其它故障仅占5%.工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同.工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障.现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表.现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具.已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用/=200元/件；进行检查的费用t=10元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用〃=3000元/次（包括刀具费）；未发现故障

2、吋更换一把新刀具的费用k=1000元/次.1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略.2）如果该工序正常吋产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品.工序止常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次•对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.3）在2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益.附：100次刀具故障记录（完成的零件数）45936262454250958443374881550561245243498

3、26407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851-）基本模型假设1）刀具每加工弘件零件后定期更换，更换费用

4、为£（已知）；2）每生产“件零件定期进行检查，检查费用为/（已知）；3）在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序出现故障的概率均相等，记作卩；4）检查时工序停止生产［注］,若发现该零件为不合格品，则进行调节使恢复正常，费用为〃（已知）；5）工序故障吋生产的零件均为不合格品，正常吋均为合格品，而刀具故障占工序故障的95%；6）每件不合格品的损失费为/（已知）；7）刀具故障（寿命）的概率分布由所给100次故障记录确定.模型1）目标函数（工序效益）为生产每个零件的平均费用L,包括预防保全费用厶（刀具定期更换），检查费用厶2,工序故障造成不合格品的损失费用厶.由假设1，L、=kI

5、u；由假设2,b=t]n；由假设4,6,厶=（吋+d）/c,其中加为当相邻两次检查的后一次检查发现故障时,〃件零件中不合格品的平均数，c为平均故障间隔.于是问题为确定u.n使厶仏町鼻+丄+必竺（1）unc最小.下面计算眈，C・2）加的计算由假设3,在相邻两次检查的后一次检查发现故障（概率为/）的条件下，出现Z•件不合格品（前件合格，下一件不合格）的概率为（1-卩厂p/戶，戶=1-（1-卩）"，于是加=£i（l-p）"Tp/l-（l-p）"]⑵上式经代数运算可得(1_”)"和+5+1)卩_1将上式在卩=0处展开得m=Hp+(?(/?)=222其中由于防1/c很小(见后面计算

6、结果),将。(〃)忽略.代入(1)得厶仏n)=-+-+^+^f+-(3)Un2cc3)c的计算首先，根据给出的100个数据算出无预防性更换时刀具故障平均■间隔(即100个数据的平均值)为勺=600(件)・设非刀具故障平均间隔为b,由假设5刀具故障占95%,非刀具故障占5%,则型-空，从而归1400(件)•l/b5%其次，在不考虑非刀具故障的条件下，计算定期(“件)更换时刀具故障的平均间隔d(u)・由100个数据统计出刀具故障的经验概率分布，例如对完成的零件数作如下分组:零件数Nj<100100〜150150〜200200〜250250〜300300〜350频率1%1%1%

7、2%2%2%零件数叫350〜400400~450450〜500500〜550550〜600600~650频率4%6%9%11%11%13%零件数N.650〜700700〜750750〜800800〜850850〜900>900频率/9%6%8%4%4%6%如若U=300件，则平均刀具故障间隔为0(300),而由上表可知100次更换有1+1+1+2+2二7次刀具故障，和邻两次换刀之间刀具故障的平均间隔为50x1%+125x1%+175x1%+225x2%+275x2%+300x93%,显然它等于67(300)x7%,从而d(30