数学建模集训讲义(11-11节)

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1、§11飞越北极(2000全国大学生数学建模竞赛C题)今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地．据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时．由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数．假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：A1(北纬31度，东经122度)；A2(北纬36度，东经140度)；A3(北

2、纬53度，西经165度)；A4(北纬62度，西经150度);A5(北纬59度，西经140度)；A6(北纬55度，西经135度)；A7(北纬50度，西经130度)；A8(北纬47度，西经125度)；A8(北纬47度，西经122度)；A10(北纬42度，西经87度)．请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：（1）设地球是半径为6371千米的球体；（2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米．参考解答：取直角坐标系如下：球心为原点，-轴指向北极，-轴通过赤道上经度为0度和180度的两点，正向指向0度，-轴垂直于

3、-轴和-轴构成右手坐标系．1）由于飞机基本保持飞行高度10千米，忽略起飞和降落，飞机在以原点为中心半径为6371+10=6381千米的一球面上运动．球面上两点之间的短程线是过这两点的大圆弧段．此大圆弧段的长度可以这样计算：先求出球心指向这两点的矢量的夹角的弧度值再乘以球半径即得．设某点的地球坐标（纬度，经度）为，用以下公式将它们转化为球面坐标（弧度）：，，其中为球面坐标（为方便起见这里的是教科书中的余角），即其中，（=6381）为球面的半径．若球面上两点的球面坐标为，，相应的矢量为，设它们的夹角为，则有从而求得，进而求得两点间大圆弧的长度．北京的地球坐标约为（北纬40度，东经116.

4、5度），底特律的地球坐标约为（北纬42度，西经83度）．利用以上方法不难编制程序算得原航线的航程为航线航程（千米）至1118.9至1758.8至4624.4至1339.1至641.2至538.6至651.5至497.6至227.8至2811.0至331.4全程14540.0连接北京和底特律的大圆弧经过北极附近,过去是不准航行的，现俄罗斯、加拿大开放北极航线就可直接沿大圆弧飞行，用上述方法可得航程为10704千米．与原航线相比节省了3836千米，按航速980千米/小时计算，节省飞行时间3.91小时．2)飞机航线位于方程为的旋转椭球面上（6378+10=6388，6357+10=6367

5、）．它通过给定地理坐标的各点，在相邻两点为上述椭球面的短程线．在大地测量中，若将地球视作椭球，一点的纬度是这样定义的：用通过该点的子午面(指通过该点包含地球南北极的平面)与椭球交得一椭圆，过该点作椭圆的法线，法线与水平线的夹角即为该点的纬度（见图）．z由于椭圆方程可写为该点的切向量和法向量分别为，从而，将北京到底特律及途径各点的纬度依次作上述变换并化成弧度为0.69650.53960.62680.92341.08071.02830.95840.87100.81870.81870.73140.7314相邻两点间的飞行距离可通过用解析方法或直接搜索法找到椭球面上过这两点的、长度最短的曲线

6、（短程线），并求得其长度的近似值而得到．用这一方法可得原航线11段飞行距离为1116.4，1757.6，4620.6，1337.7，640.7，538.0，650.7，497.0，227.7，2809.3，330.9总飞行距离为14527千米．而从北京直接经北极圈飞底特律的飞行距离为10692千米，与原航线相比节省3835千米，节省飞行时间3.91小时．