数学建模集训讲义(12-12)节

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1、§12基金使用计划(2001年全国大学生数学建模竞赛C题)某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见下表．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．校基金会计划在年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券．3．学校在基金到位后的第3年要举行

2、百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%． 银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792 半年期1.664 一年期1.800 二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14基本假设问题的本身尚有一些不确定的因素，比如说基金到位的时间，每年奖金发放的日期，银行利率的变动情况等．为使问题简化，我们给出如下假设：1．该笔基金于年底一次性到位，自下年起每年年底一次性发放奖金，每年发放的奖金额为固定的，记为．2．仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假设三种期限的国库券每年至少发行一次，且只要想买，就一定能

3、买到．3．银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准，且在年内不发生变化．4．国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收取2‰的手续费．基本模型模型一单纯存款模型设将1元钱存入银行年（包括中途转存），到期时本息最多可达元，从而如果第年有元的存款到期，到期时取出，本息和最大可达元．现将元分成份，分别记为，，…，．将存入银行年，到期时取出，将本息和作为第年的奖金（第年本息和除作奖金外，还要留下原始本金）．易得，，，（1）．（2）由（2）式和（1）式得.若记，，则由上式得．从而每年的奖金额为．（3）若再记，则由（3）式得．（4）上式给出了年内每年的奖金

4、额与的比值．该式的关键在于如何求出，．下面我们给出的算法．设将1元钱存入银行年，年存期中有个一年期，个二年期，个三年期，个五年期，记为其本息和，则，，（5）其中，表示年期存款的资金增长系数，（例如实例中，，，）．根据的定义，应有．（6）容易看出，任意交换二个存期的次序不改变本息和．例如，先存一年期后存三年期限与先存三年期后存一年期，到期本息和是一样的．不仅如此，经计算可知以下五式成立，，，，．（7）上式表明，存2个一年期不如一次存1个二年期，存1个一年期再转存1个二年期不如一次存1个三年期，以此类推，存2个三年期不如先存1个一年期再转存1个五年期．

5、据此我们得到如下定理定理假如在点取得最大值，则应有（1），，；，；，（2），，，，（8）（3）．（9）结果可以按如下程式实现：先由（8）、（9）式计算各，再由（3）式计算，最后由（1）式计算各．模型二可存款可购买国库券模型仍将分成，，…，共份，但现在可作存款或购买国库券用，其本息和用做第年的奖金，最后一笔除奖金外，还应留下基金本金．由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能即时买到，可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存入半年定期，剩余的时间以活期计息；若在下半年发

6、行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，到期时取出，剩余时间再存活期．购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和为一年，因此购买一个年期的国库券实际需要年．通过分析和计算可以得出，要获得最大的资金增值，应选择一年定期、二年定期、三年定期及三年期国库券和五年期国库券，而不应选择二年期国库券和五年定期存款．为了叙述方便，把买三年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款，到期时资金增长系数为=1.1026412，其中，表示三年期国库券资金增长系数，表示活期存款资金半年增长系数，表示半年期存款资金增长系数；把买五年期国库券加半年定期及

7、半年活期存款看成一个六年期存款，到期时资金增长系数为，其中，表示五年期国库券资金增长系数．设将的本息和用作第年的奖金，年中有个一年期，个二年期，个三年期，个四年期，个六年期，则到期时资金增长系数为，（10）．（11）类似于单纯存款模型的分析，要使取最大值，只需取，，，，．（12）．（13）结果可以按如下程式实现：先由（12）、（13）式计算各，再由（3）式计算，最后由（1）式计算各．模型三基于百年校庆的最佳投资模型用表示除第3年外每年发的奖金额，表示第3年比其它年度高出的比例，类似于（1）式有，，，．（14）由（14）和（2）式得．（15）另外，的

8、推导同模型一及二．基本结果模型一至模型三就不同情况给出了最佳投资方案，根据本题所给条件，得到具体结果如下表：（剩余额为,单