数学建模集训讲义(8-8节)

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1、§8钻井布局（1999年全国大学生数学建模竞赛B题）勘探部门在某地区找矿，初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料．进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探．由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井．因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用．比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元．设平面上有个点，其坐标为，，表示

2、已有的个井位．新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）．假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）．整个网格是可以在平面上任意移动的．若一个已知点与某个网格结点的距离不超过给定误差（=0.05单位），则认为处的旧井资料可以利用，不必在结点处打新井．为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离

3、（纵坐标之差绝对值）的最大值．在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大．试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算．2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果．3)如果有口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）．数值例子个点的坐标如下表所示：1234567891011120.501.413.003.373.404.724.725.437.578.388.989.502.003.501.503.515.502

4、.006.244.102.014.503.410.80问题一的模型对于给定的直角坐标系，已知各旧井的坐标为，．设在网格N中离原点最近的结点为，则，，且网格N的任一结点可表示为，其中，均为整数．于是网格N的设计参数为，．我们要弄清楚，对给定的及，如何计算可利用的旧井数目．由于只有两个变量，我们可以用数值计算方法，而不用解析法．比如用列表法把二元函数的值计算出来，然后求其最大值．下面是一种计算方案．对于给定的点，与各个结点的距离误差是沿坐标轴方向的．点可以利用的充分必要条件是与某个结点的横（纵）坐标之差的绝

5、对值．因此，当且仅当正方形邻域内存在结点（其中，为整数）时，可以利用．此时记，否则．换言之，当且仅当（1）时布尔变量，式中INT表示向方向取整．由上述分析可知，可利用旧井数为．（2）所以，问题归结为求二元函数在约束条件下的最大值．可用计算机求其数值解．比如取0.01为步长，将和的取值范围各自等分为100份，然后在100×100个点中求出的值，并从中直接比较出最优解来．在计算时只要对满足不等式（1）的进行计数．对给出的数值例子，，其中可利用的井号为2，4，5，10．[注]也可设第一象限中离原点最近的结点为

6、，其中，计算过程类似．问题二的模型首先考虑用欧氏距离表示误差而网格N不旋转的情形．显然，当且仅当圆形邻域内存在结点（其中，为整数）时，已知点可以利用，此时记，否则．注意到此处的圆形邻域含于问题1的正方形邻域之中，而唯一可能含于正方形邻域中的结点是我们可以进一步检验它是否落入圆形邻域中，当且仅当时布尔变量．用这种方法计算出所有，，便由（2）式得到，给定时的函数值．然后仿照问题1的数值计算方法，求出的最大值．对网格N可以旋转的情形，欲求的网格N的横向和纵向可用新坐标系的横向和纵向表示，其中与的夹角为．根据坐

7、标变换公式，点在新坐标系下的坐标为(3)在此，坐标原点不一定是网格N的结点．我们设在新坐标系中，网格N中离原点最近的结点为，则，．这样一来，网格N的设计参数就是．将的取值范围离散化．对每一个值，运用坐标变换公式（3）计算出各点的新坐标．然后运用上述算法进行搜索．对给定的数值例子，计算结果是：当，，时，最大可利用井数为6，可利用的井号为1，6，7，8，9，11．问题三的模型我们在两点间的距离为其横向距离及纵向距离的最大值的意义下考虑本问题．不妨设指定的井就是，．则符合要求的网格N对应于如下不等式组的解：（

8、4）其中及如（3）式所示，Z表示整数集合．这样，问题归结为判定（4）是否有解．易知，当且仅当如下两个不等式组同时有解时（4）有解：（4a）（4b）而它们的形式是一样的，我们只要研究其中一组，比如（4a）．由于（5）故，其中，．若注意到对任意实数有，，从而可知当时有，所以整数变量至多有两个可能值及．至于实变量的取值范围，可在如下命题中看出．命题当且仅当如下二者之一成立时不等式组（4a）有解：（1）（2）．证明若（1）成立，则，故取，便得到（4