第二章二次函数

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1、第二章二次函数※二次两数的概念：形如y=or?+/?兀+c（d、b^c是常数q工0）的函数，叫做x的二次••函数。占变量的取值范围是全体实数。••>'=ax2（aH0）是二次函数的特例，此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量Z间的等量关系，列出相应的函数关系式,并确定冃变華叫取值迄圉。※二次函数y=ax2的图彖是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。•••描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方而来描述。①函数的取值范围

2、是全体实数；②抛物线的顶点在（0,0）,对称轴是y轴（或称直线x=0）o③当a>0时•，抛物线开口向上，并且向上方无限仲展。当aVO时，抛物线开口向下，并口向下方无限伸展。④函数的增减性：a比時JxSO时,y随兀增大而减小；、门a呵Lno时,y随兀増大而増大.B当V0时$50时,y随兀增大而增大；'a[x>OR']-,y随X增大而减小⑤当丨a丨越大，抛物线开口越小；当丨a丨越小，抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值：当a>0,且x=0时函数有最小值，最小值是0；当a<0,且x=0吋函数有最大值，最大值是0。※二次函数y=

3、d/的图彖是一条顶点在y轴上口与y轴对称的抛物线※二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x=~—为对称轴，顶点在2a,Am》）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）2a4a※加的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；血的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。※二次函数y=ax2+c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，lai决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。※二次函数y=ax~+bx+c的图象与y=ax?的

4、图象的关系：y=6/x2+加+c的图象可以由y=ax?的图象平移得到，其步骤如下:①将y=ax2+hx+c配方成y=a(x-h)2+k的形式;”其中“埒飞气为②把抛物线=ax2向右（h>0）或向左（hvO）平移Ihl个单位，得到y=a（x-h）2的图象；③再把抛物线y=a（x-h）2向上（k>0）或向下（kvO）平移Ikl个单位，便得到y=a(x-h)2+k的图象。※二次函数y=ax2+bx+c的性质:二次函数y=/+加+。配方成=（心+—）2+4ac~b2则抛物线的2a4a①对称轴：x=-—②顶点坐标：（_±,仏"）

5、2d2a4a③增减性:若a>0,则当x<-A时，y随x的增大而减小;2a当x>-±时，y随x的增大而增大。2a若a〈。，贝U当心却寸，y随x的增柳増木;当亠舟时，y随湎帖测、。④最值：若a〉0,则当』舟吋,4ac-h2~4^~若a〈0,则当a%时,4ac-b2为大=匚—※［田

6、二次函数y=ax2+b兀+c的图象:我们可以利用它与函数y=的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法…■五点法来画二次函数來画二次函数的图象，其步骤如卜•：①先找出顶点（_±,也°"2）,画出对称轴x=-A;2ci4a2a②找岀图象

7、上关于直线xS称的四个点（如与处标的交点等）；2a③把上述五点连成光滑的曲线。Q二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，也可以借助图彖观察。0解决最大（小）值问题的基木思路是：①理解问题；①分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；②用数学的方式表示它们Z间的关系；③做数学求解；④检验结果的合理性、拓展性等。※二次函数y=ax2+bx+c的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标Xi,X2是对应一元二次方程处2+bx+C=O的两个实数根※抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方

8、程的根的判别式判定：b2-4ac>0<===>抛物线与x轴冇2个交点；b2-4ac=0<二二二〉抛物线与x轴有1个交点；b2-4ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点（无交点）；※当b2-4ac>Q时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离：IAB1=1X）+兀21=J（兀2~X）2=J（^l+兀2）2一4兀1兀2化简后即为：1431=“'牝。b-4dc〉0）这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。