[整理]初等数学研究关于换元法巧解方程

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1、妙用换元法解高次方程10数B1050502065李燕娣摘要数学知识、数学思想与数学方法三者是密不可分的，人们在解决问题的过程屮都要经历问题——思考——总结的过程，而剖析这一过程正是我们数学教学的重要任务。“换元法”是初中数学中解决方程的一个重要方法，它体现了初中数学的一些基本思想，如符号化思想、变元思想、转化思想等。木文以“换元法”巧解高次方程为例，把某个较为复朵的式子（根式、和式、积式、对数式、指数式、三角函数式等）看成一个整体，以一个新的未知数替换它，使我们所研究的问题变得简单-化。用换元法解决高次方程有效地培养和训练了学生思维的灵活性,简化和加

2、速思维过程，同时化繁为简，化难为易，提高了学生解决问题的能力，培养学生辩证观点的有力工貝。引言如果我们教学只是结论式教学、就题论题式教学，那么就会把数学中的精华——数学思想给遗失了。这样学到的只是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识。而利用“换元法”处理方程问题则很好地体现了数学教学思想的精华，虽然拼凑的难度可能会较大，但通过部分换元后，再运用乘法公式及其他化简进行变形，其解法虽不能说拍案叫绝，却也能令人耳口一新。正文方程即是含有未知数的等式，它的形式繁多，从低次方程至高次方程，由单项等式至多项相乘，其求解未知数的方法也纷繁众多、眼花缭乱，低次方程的解决

3、稍微较易，但逐渐升高次数时难度亦越来越高，所以就不得不想一些较为方便简单的方法来处理相关的方程问题。Ifu“换元法”不失为一种独到精辟的方法z一，“换元法”是初中代数中常用的一种技巧解题方法。中学数学中对于方程这一部分，主要讲解了一元一次方程、一元二次方程的解法和一次方程组（未知数的个数一般比较少）及简单的二元二次方程组的解法。后面又学到其他的方程（例如：分式方程、高次方程、无理方程、指数方程与对数方程、三角方程与反三角方程等）都是经过变形，变成了上述所淫的方程来解。而变形的主要方法Z—就是“换元法”。“换元法”就是用新的未知量或变量替换原来的未知量

4、或变量，求出新的未知量或变量后，再利用其替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称“换元法”。其中，新的未知量叫做辅助元素，简称“辅助元”。“换元法”是屮学数学的重要解题方法之一，在解决函数、方程、不等式、数列及解析儿何的间题中起着重要的转化作用。当我们用一个新的字母代换题目中的一个“集团”吋,可使原来题口隐藏的关系明朗化，给人以“柳暗花明”、化繁为简的感觉，使问题迎刃而解。实施“换元法”的关键在于恰当地选择新的变元代替旧的变元，也就是选择适当的辅助未知数。此文在接下来的论述中就很好地利用了这一点。同吋，要注意未知数允许值范围的变化

5、，即新变元的取值范围与I口变元的取值范围的内在联系与转化。对于辅助未知数的选择没冇一般的通则可循，往往因题而异,技巧性较强。但通过变换都能同样达到降低次数的目的。用换元法解方程也就是反过来将方程中含有未知数的单项式、多项式、分式或根式等用未知数X表示。集屮力量分析方程屮含有未知数的代数式之间的关系,这是能否进行换元的关键。其中，在解决方程问题尤为恰当，将高次方程化为低次方程，复杂过程化为简单方程，轻而易举便可求得原方程的解。这里讲述一道高次方程如何借助“换元法”来巧解方程的过程：(2006年的一道青海题)一次数学兴趣小组的活动课上，师生冇下面的一•段

6、对话，请你阅读完后再解答问题.老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(x2-x)2-8(x2-x)+12=0・学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0,次数变成了4次，用现有的知识无法解答.同学们再观察观察，看看这个方程冇什么特点？学生乙：老师，我发现方程中x'-x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，如果我们把x'-x看成一个整体，用y表示，即X2-X=y,那么原方程就变为y-8y+12=0・全体学生：(同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？！老师

7、：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2-8y+l2二0的根是yi=6,y2=2,那么就有x2-x=6或/-乂二2・学生丙:对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，Xi=3,x2=-2,x3=2,x.i=-1,响，有这么多根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法.在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法.上题老师通过其他方法的试探，最后无法用现冇知识解答，最后引导学生发现规律/-X可以当作一个整体看待，这样一来，就引出了换元法，降低方程的次数了，由不知高阶方程的求解到转换为一元二次方程，这一元二次方程的解

8、决对大家来说无疑是比较简单的。它的根也很快能求出，这里是呈现了一个学习的情节，给出了换元法，既用换元法很好地