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1、函数思想方法在规律探寻与简便计算中的应用梁作印函数让数和形完美地结合在了一起，借助于函数解析式我们可以清晰地看到诸变量之间的数量关系。本文将重点探讨函数思想方法在规律探寻和简便计算方面的应用。我们先以多边形内角和公式的探究来体验函数思想方法的运用。先猜想多边形的内角和s与边数n是否成一次函数关系式：设内角和s与边数n的函数关系式是：s=kn+bo因为n=3时,y=180°；n=4时,y=360°。即解得k=180,y=-360°即y=180°n-360°验证：当n二5吋，s二540,°；n二6时*,s=720°均符合题意。此即n边形
2、的内角和公式是：s=180°n-360o=(n-2).180运用举例一，在规律探寻中的应用例一、右下图是按一定顺序排列的自然数，求第14行第二个数是多少？把问题转化为探究第n行的第一个数y与其所在行数nZ间的函数关系式。先尝试一次函数关系式：y=nx+bo检验：把n=l,y二1；n=2,y二2带入解得k=l,b二0,即『=只，显然不符合题意丁是尝试二次函数，设y=an2+bn+c把1,y=l；n=2,y=2；n=3,y=4带入y=an2+bn+c解得a=£,b=丄,c=l22艮卩■丄n+122检验：把n=4带入得y=7,把n=5带入
3、得y二11,符合题意。所以当n=14时，y=92,即14行的第二个数就是93.新学号(y)15913旧学号(X)1234学生的新旧学号发生了如下对应的变化：试问旧学例二、新学期开学后,号是30的同学现在的学号是多少？先看是否满足一次函数关系，设y=kx+b把x=l,y=l,x=2,y=5带入解得：k=4,b=-3.即y=4x-3.验证：把x=3带入y=4x-3解得y=9；把x=4带入得y二13.符合题意。所以y=4x・3即为所求函数关系式。把x=30带入y=4x-3得y=l17,旧学号是30的同学新学号是117.例三、下图是用相同长
4、度的小棒摆成的一组有规律的图案，按此规律摆下去,则第n个图案要多少个小棒分析：设小棒的个数y与n的关系是y=kn+b显然当n=l时，y=4；当n=2时，y=10,带入y=kn+b解得k二6,b=・2.即y与n的关系是y=6n-2检验：当n=3时,y=16；n=4时,y=22.均符合题意故第n个图案需要6n・2个小棒。梯形个数1234图形周长581114练习：观察图形和所给表格中的数据回答，当梯形的个数是16时，梯形的周长是多少？应用2：在简便计算中应用例1、求2+4+6+84-10+12+——+1000值。分析：原式可化为y二2(1
5、+2+3+4+——+500)设和(y)与项数(x)之间的函数关系式是y=kx+b把x=l,y=2,x=2,y=6带入y=kx+b得解得:k=4,b=-2.即y=4x-2验证：当x=3时，y=10与题意不符。尝试二次函数关系式：设y=kx2+bx+c把x=l,y=2；x=2,y=6；x=3,y=12带入y二kx'+bx+c解得k=l,b=l,c=0.即y=x2+x把x=500带入y=x2+x=5002+500=2505002、两个人握手，握一次；三个人两两握手握三次；四个人两两握手握6次……探究50个人两两握手我多少次？分析：先猜想握
6、手次数s与人数n成一次函数关系s=kn+bo把n=2,s=l；n=3,s二3带入s=kn+b解得：k=2,b=-3即s=2n-3检验：当n=4时，s=2X4・3=5H6,与事实不符。尝试二次函数关系式：y=an2+bn+c把n=2,s=l；n=3,s=3；n=4,y=6带入y=an2+bn+c解得a=—,b=-—,c=0；y=—n2-—n=—n(n-1)22222检验：把n=5、n=6分别带入y=—n(n-1)得y=10和y=152均符合题意。所以当n=50吋，s=-n(n-1)二丄X50(50-1)=1225・22练习：1、计算1
7、+3+5+7++999值(提示：总项数(首数+尾数)-2)答案：y=n2=(上竺)222、从同一端点发出两条射线，构成一个角，发出三条射线构成三个角……用函数思想方法探究角的个数s与射线条数n之间的关系。(提示：类比握手问题答案：s=-n(n-1))2拓展：借助于下图规律探寻我们可以得出连续自然数的平方和公式，即计算：12+32+42+52++n2如图：当边长为1X1时，正方形的个数为1个，当正方形的边长为2X2时正方形的个数为5个如图：试探究正方形的个数y与大正方形边长x之间的关系通过尝试可以发现正方形的个数y与边长x之间不是一次
8、函数关系，也不是二次函数关系，故可设y=ax3+bx2+cx+d其中有四个未知数，所以要用四对有序实数(x,y)带入y=ax3+bx2+cx+d反解出a、b、c、d的值。过程略答案：y=-(2n3+3n2+n)=-n(n+1)(2n+
