换一只眼看数学

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1、换一只眼看数学--函数视野下的数学解题浙江省余姚市第七中学315450周海清函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。具体讲就是通过类比联想转化，合理的构造函数，从而有效降低题冃难度，以达到轻松解题的冃的。函数思想的运用范围不仅在本身就是函数问题的高考试题中，而且在不等式，数列，解析几何等问题中也有不俗表现。1、数列数列从本质上来讲，是函数，用函数思想解决数列问题不但能够加深对数列概念的理解，而且还能加强知识点间的联系。例1、等差数列仏｝中川〉0,前力项的和为町，若TTQwk),当斤取何值时7；最大？解析：运用数列

2、中的通项公式的特点，把数列问题转化为函数问题解决。设f(n)=T”=nb、+2"d，nwN贝U/(")=*府+(q-即7，此函数是以〃为自变量的二次函数。••场>0,7；=7；.(/#/:)・•・J<0所以二次函数f(n)的图像开口向下。.••当时，/•（兀）最大，但/“）中庇“所以当/+£为偶数时，”=学时，7；最大当/+£为奇数时，〃=匕空时，7；最大22、平面解析几何在解决平面解析几何问题时，若是能够通过仔细读题，发现某些点，线之间的联系，并用函数来刻画，往往会起到事半功倍的效果。例2、设且d+b+c=O,抛物线y=ax2+2/?x+c被兀轴截得的弦长为加，证明：V3

3、于弦长加是与Gb,C有关的变量，若能找到它们之间的关系式，问题就变简单了a>b>c口-。+方+c=0/.<7>0,c<0*.•△=4&2一4ac>0故方程ar2+2Z?x+c=0必有两个不同实根知勺m2—(X,一兀2)2=(兀1+兀2)2—4兀［兀2=4(1+—)2=4(―+-)2+3_aa」a2所以加2是£的二次函数，a>b>c且a+b+c=0可知:a-2<—<-—,当£<-丄时，加2是单调递减的。a2a2所以4(--+-)2+30所以V3

4、远距离为V7,求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点〃的距离等于"的点的坐标。解析：设椭圆的方程：£+£=1,因为2空,所以0b~2—=A/l-e2=—a222所以a=2b,故命+右=1设椭圆上的点p】(x,y)到〃的距离为d,则十=x2+(y--)2Q=4b2_4b+),_3y+才=-3(y+—)2+4/?2+3(-b

5、时，2"»2(/?+1),(庇N)证明：设/(兀)二(1+x)n=C；；+C>+C;x2+...+C；：x"f⑴Y+G+C：+・・・+C；：贝g=i+〃+c；+・・.+c;;J+77+1=2(l+〃)+(C；+…+C；2)=2”当〃=3时,2"=2(1+〃)当n>3时，2"=2(l+〃)+C：+・・・所以当川》3日寸，2W>2(/?+1),(/?gN)4、解不等式问题在解决有些不等式问题时，若运用函数的视野去分析，推理的话，可以让证明轻松许多。例5、证明不等式：—「V兰("0)1-2X2解析：一般证法是分兀>0或xvO讨论，运算量较大。这里不妨试试构造函数/⑴二一J弓(心0)。=-x(l+丄』

6、2x-l2x1-2A1—22-f=/W/.f(x)是偶函数。当兀>0时，l-2x<0,从而f(x)<0于是兀v0时,f(x)=f(-x)<0故当兀工0时，恒有f(x)<0,即—^<-(x^0)1-2X25、求值求某些代数式的值时，可以将代数式转化为函数式，以提高解题速度。例6、如果实数以满足(一2)2+口=3,那么纟的最大值是a解析：由已知等式两边同除以/得2项，同时可得到关于丄的二aa次函数，求此函数值最大值即可两边同除以/得：(2)2上+1+4=0aaa即(-)2=-(--2)2+3aa又b2=3-(a-2)2>0所以2-任*2+石当*=2,即a=le[2-V3,2+V3[时，(彳九=3所

7、以(-)max=巧a例6、设实数兀,y满足F+2兀+g=0,+2y-g=0试求兀+y的值。解析：直接解这两个方程，显然运算量太大，不明智，通过观察发现，口」把两个方程变为：x3+2x=-a,y3+2y=a构造函数f⑴dtgR),显然/(-/)=-/(/)，所以/⑴为奇函数因为f(x)=-a9f(y)=a,所以f(x)=-f(y)又/⑴为奇函数，所以/(x)=f(-y)易证，/⑴为增函数，所以x=-