高中培优个性化讲义直接证明与间接证明

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1、衡阳个性化教育倡导者第十五讲直接证明与间接证明教学目标：1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2、了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.3、.了解数学归纳法的原理．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.一、知识回顾课前热身知识点1、直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：―→―→―→…―→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要

2、证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：―→―→―→…―→.知识点2、间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．知识点3、数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k

3、≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．二、例题辨析推陈出新例1、　设a、b、c＞0，证明＋＋≥a＋b＋c.衡阳个性化教育倡导者[解答]　∵a、b、c＞0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.保持本例条件不变，试证明a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c)．证明：∵a、b、c>0，∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，∴a3

4、＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．　　　　变式练习1．已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.证明：∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥

5、2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz.∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥.例2、已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.[解答]　要证[f(x1)＋f(x2)]>f，即证明(tanx1＋tanx2)>tan，只需证明>tan，只需证明>.由于x1、x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．故cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0，1

6、＋cos(x1＋x2)>0，故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，即证1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即证cos(x1－x2)<1.这由x1、x2∈，x1≠x2知上式是显然成立的．因此，[f(x1)＋f(x2)]>f.衡阳个性化教育倡导者变式练习2．已知a＞0，求证：－≥a＋－2.证明：要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.∵a＞0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.例3、设

7、{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[解答]　(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，∴2(1＋

8、q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．变式练习3．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c>