利用改进的adomian分解方法

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1、第６卷第２期杭州师范学院学报（自然科学版）Vol．６No．２２００７年３月JournalofHangzhouTeachersCollege（NaturalScienceEdition）Mar．２００７文章编号：１００８－９４０３（２００７）０２－００１００－０６利用改进的Adomian分解方法求解二阶两点边值问题金怡，余爱晖（杭州师范大学数学系，浙江杭州３１００３６）摘要：在传统求解初值问题Adomian分解方法的基础上，提出一种改进的Adomian分解方法来求解带混合边界条件的二阶两点边值问题．并给出实现该方法的具体数值例子，以验证该方法的有效性．关键词：Ad

2、omian分解法；逆算符；两点边值问题中图分类号：O１７５．８MSC2000：３４B８文献标志码：A０引言在应用数学与工程技术领域中经常会遇到常微分方程的边值问题，由于边值问题解的存在性和唯一性远比初值问题复杂，因此不论在理论上还是数值方法上，求解边值问题都要比初值问题困难．目前采用的数值解法主要有打靶法、高精度差分方法、样条方法等．在此主要考虑利用Adomian分解方法获得如下形式的带混合边界条件的边值问题近似解：y＋p（x）y＋F（x，y）＝g（x），″′（１）y（０）＝A，y（１）＋y（１）＝B，′其中F（x，y）是实函数，P（x）和g（x）是给定的函数，

3、A和B是给定的常数．［１］［２－３］文章的目标是要利用Adomian和Wazwaz提出和发展起来的Adomian分解方法来解决问题（１），得到高精度的近似解．第１部分简要介绍了传统的Adomian分解方法，第２部分论述如何利用Adomian分解方法来求解二阶边值问题（１），最后在第３部分用一些典型的例子来验证该方法的有效性．１Adomian方法简介Adomian分解方法（又称逆算符方法）是２０世纪８０年代由美国数学物理学家GeogeAdomian提出并发展起来的求解线性和非线性方程的一种有效方法．它的基本精神是：首先把求解的方程适当地分解为若干部分，把方程的解分

4、解为无穷个解分量，再产生与方程中的非线性项等价的特殊多项式，然后利用逆算符技术由低阶解分量推出高阶解分量，从而得到方程的高精度逼近解甚至精确解．具体地讲，对于如下的初值问题：y＋p（x）y＋F（x，y）＝g（x），″′（２）y（０）＝A，y（０）＝B，′收稿日期：２００６‐１２‐０１作者简介：金怡（１９８３—），女，浙江杭州人，应用数学专业硕士研究生，主要从事计算数学研究．２杭州师范学院学报（自然科学版）２００７年２d其中F（x，y）是实函数，P（x）和g（x）是给定的函数，A和B是常数．记微分算子L为L（·）＝２（·）．将dx算子L作用于方程（２）的两端，得到

5、Ly＝g（x）－p（x）y－F（x′，y）．（３）xx－１－１－１定义逆算符L为L（·）＝∫∫（·）dxdx．将L作用于方程（３）的两端得００－１－１－１y（x）＝y（０）＋y（０）x＋L′（g（x））－L（P（x）y（x））－L′（F（x，y））＝－１－１－１A＋Bx＋L（g（x））－L（P（x）y（x））－L（′F（x，y））．（４）另一方面方程（２）的解y（x）可表示为某一无穷级数的形式，即∞y（x）＝∑yn（x）．（５）n＝０对于非线性部分F（x，y）通过Adomian分解可分解为无穷多个Adomian多项式An之和，即∞F（u）＝∑An，（６）n＝０其

6、中A０＝F（u０），A１＝u１F（u０），′２u１A２＝u２F（u０）＋F（u０），′″２！３（７）u１A３＝u３F（u０）＋u１u２F（u０）＋F（u０′），″碶３！２２u２u１u２１４（iv）A４＝u４F（u０）＋u１u３F（u０）＋F′（u０）＋u１F（″u０），碶２！２！４！…将式（５）和（６）代入（４），可得：∞∞∞－１－１－１∑yn（x）＝A＋Bx＋Lg（x）－L（p（x）∑yn（x））－L∑An．（８′）n＝０n＝０n＝０于是，可得到递推公式：－１y０（x）＝A＋Bx＋Lg（x），（９）－１－１yk＋１（x）＝－L（p（x）yk（x））－L（Ak）

7、，k≥０．′２求解边值问题改进的Adomian方法对于如下形式的边值问题：y＋p（x）y＋F（x，y）＝g（x），″′（１０）y（０）＝A，y（１）＋y（１）＝B，其中F（x，y）是实函数，P（x）和g（x）是给定的函数，A和B是给定的常数．给定一个新的微分算子－∫p（x）dxdp（x）dxdL∶L＝ee∫．dxdx则问题（１０）可表示为Ly＝g（x）－F（x，y）．（１１）xx－１－１－∫p（x）dxp（x）dx－１定义逆算符L为L（·）＝∫e∫e∫（·）dxdx．将L作用于式（１１），可得００－１－１－１－１y（x）＝y（０）＋y（０）x＋Lg（x）－LF（

8、x，y）＝A＋cx＋Lg