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1、第21卷第3期徐州工程学院学报2006年3月Vol.21No.3JournalofXuzhouInstituteofTechnologyMAR.2006复变函数共轭解析的充要条件仝泽柱,娄正凯(徐州师范大学数学系,江苏徐州221116)【摘要】在共轭解析函数定义基础上,讨论指数形式表示的函数共轭解析的充要条件.【关键词】Cauchy-Riemann条件;解析;共轭解析;充要条件【中图分类号】O174.5【文献标识码】A【文章编号】1673-0704(2006)03-0097-04在复变函数中,我们知道关于复变函数解析的充要条件,其中有个重要的
2、条件是Cauchy-Riemann条件.解析函数与共轭解析函数之间存在很多联系,那么可否根据研究复变函数解析的方法研究复变函数共轭解析的性质呢?于是我们依据函数解析的定义,推导函数共轭解析的条件.在研究过程中,我们发现用指数形式表示复变函数,运算比较简洁、直观.故而,本文就从复变函数的指数形式出发,研究其共轭解析的充要条件,以进一步了解共轭解析函数的性质.引理王见定在他的半解析函数共轭解析函数中给出了共轭导数以及共轭解析的概念,让我们认识了共轭解析函数.1共轭导数的概念设函数w=f(z)于区域D内有定义,给自变量z∈D以增量Δz=Δx+iΔy
3、(z=x+iy),使(z+Δz)∈D,并计算由于自变量所引起的函数w=f(z)的增量:Δw=f(z+Δz)-f(z).Δw如果Δz按任意方式趋于零时比值的极限存在,其值有限,则称此极限为函数w=f(z)在点z的共Δz0轭导数,记为f(z):Δw0f(z)=lim,Δz→0Δz这时称函数f(z)于点z共轭可导或共轭可微.2共轭解析函数的概念若函数w=f(z)在区域D内处处共轭可导,则称f(z)为区域D内的共轭解析函数,或称f(z)在区域D内共轭解析.主要结果iθ假设w=f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)是复变函数z=re的一个定义在区域D内
4、的函数.一般来说,如果函数u和v相互独立,即使函数u(r,θ)及v(r,θ)对r和θ的所有偏导都存在,函数f(z)通常仍不是共轭可微的.若f(z)函数是共轭可微的,它的实部u和虚部v应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件.iθ定理1设函数f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)在定义域D内有定义,z=re≠0是D内任一点,若f(z)收稿日期:2006-01-10作者简介:仝泽柱(1985-),男,江苏宿迁人,大学本科,主要从事数学分析研究.·97·在点z处共轭可导,则u(r,θ)与v(r,θ)满足条件:u1vv1u=-,,=,rrθrrθ且0
5、1u1vf(z)=-iθ+i-iθ.erer证明:因为f(z)在点z处共轭可导,则0Δf(z)f(z+Δz)-f(z)f(z)=lim=limΔz→0ΔzΔz→0Δz令f(z+Δz)-f(z)=(u(r+Δr,θ+Δθ)-u(r,θ))+i(v(r+Δr,θ+Δθ)-v(r,θ))=Δu+iΔv,-i(θ+Δθ)-iθΔz=(r+Δr)e-re,则0Δu+iΔvΔu+iΔvf(z)=lim-i(θ+Δθ)-iθ=lim-i(θ+Δθ)-iθ,(1)Δz→0(r+Δr)e-reΔr→0(r+Δr)e-reΔθ→0-i(θ+Δθ)-iθ-i(θ+
6、Δθ)因为Δz=(r+Δr)e-re无论按什么方式趋于零的,(1)式总成立.则先令Δr=0,Δz=r(e-iθ-e,即Δz沿圆周趋于零,有0Δu+iΔv1Δu+iΔv1f(z)=lim-i(θ+Δθ)-iθ=lim-i(θ+Δθ)-iθΔθ→0r(e-e)rΔθ→0Δθe-eΔθ1uv11v1u=(+i)-iθ=--iθ+i-iθ.rθθ-iereθreθ-iθ再令Δθ=0,Δz=Δre,即Δz沿直线趋于零,有0Δu+iΔv1vv1u1vf(z)=lim-iθ=-iθ(+)=-iθ+i-iθ,Δr→0Δreerrerer有1v1u1v1v--
7、iθ+i-iθ=-iθ+i-iθ,reθreθerer则u1vv1u=-,=,rrθrrθ01u1vf(z)=-iθ+i-iθ.ereriθ定理2设函数f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)在区域D内有定义,则f(z)在D内一点z=re≠0共轭可导的充要条件是:u(r,θ)与v(r,θ)在点(r,θ)共轭可微,且满足条件u1vv1u=-,=.rrθrrθ0Δf(z)证明:()因为f(z)在D内一点z共轭可导,所以f(z)=limΔz→0Δz从而0Δf(z)=f(z)Δz+XΔz0令f(z)=a+ib,Δf(z)=Δu+iΔv,则0Δu+iΔv
8、=f(z)Δz+XΔz-i(θ+Δθ)-iθ=(a+ib)[(r+Δr)e-re]+XΔz,(2)-iθ-iθΔz=eΔr-ireΔθ+X1,22X1为Δr+Δθ的
