西北工业大学至7学学期线性代数测验考试试题

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1、西北工业大学2006至2007学年第一学期线性代数考试试题（2006.11）一、（18分）选择填空、计算填空：1．设矩阵不可逆，维列向量组线性无关，则（）．(1) 向量组线性相关；(2) 向量组线性无关；(3) 向量组可能线性相关，也可能线性无关．2．设，为2阶单位矩阵，满足，则（）．3．将矩阵的第2行加到第1行得到矩阵，再将矩阵的第2行与第3行对换得到矩阵，那么，其中矩阵．4．设，满足，则（）．5．已知函数满足，，，则，，．6．已知矩阵的特征值为，则的全体特征值为（）． 二、（10分）设常数满

2、足，计算行列式三、（15分）设线性方程组的系数矩阵的秩为2，求的值及方程组的通解．（要求用向量形式表示通解）四、（10分）已知，求．五、（10分）设矩阵的各行元素之和为1，齐次线性方程组有两个线性无关的解向量，讨论能否相似于对角矩阵．（要求写出依据）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。六、（15分）已知二次型经过正交变换化为标准形．1．求参数的值及所用的正交变换；（要求写出正交变换的矩阵）2．问表示哪一类二次曲面？七、（12分）在向量空间中, 基(Ⅰ)与基(Ⅱ),,满足，，1．求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡

3、矩阵；2．求在基(Ⅰ)下的坐标．八、（10分）设矩阵的两个不同特征值对应的特征向量分别为,证明：向量组线性相关的充分必要条件是．西北工业大学2006-2007学年第一学期线性代数考试试题答案一、1．；2．-1；3．；4．；5．；6．．二、．三、由得．同解方程组为，通解为，即四、法１．，设，则法２．，其中，且满足，于是五、由得是的特征值，对应特征向量为．设的两个线性无关解向量为，则有，从而是的特征值，对应的线性无关特征向量为．由于线性无关，故能够相似于对角矩阵．六、1．二次型的矩阵正交相似于，所以

4、的特征值为．由解得．．可求得对应的特征向量为，而　　对应的特征向量为（已正交），所求的正交变换为，其中2．：表示椭圆柱面．七、１．由于，其中，，于是故由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为　　２．故在基(Ⅰ)下的坐标为．　　［注］可直接解出，再写出；也可使用坐标变换公式．八、充分性．已知，则，从而线性相关．必要性．已知线性相关，则存在不全为，使得即由于，所以线性无关，故有（*）由不全为知式（*）有非零解，于是，故．