西北工业大学2007至2008学年第一学期线性代数考试试题.doc

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1、西北工业大学2007至2008学年第一学期线性代数考试试题西北工业大学2007-2008学年第一学期线性代数考试试题（27）（2007.11）一、（24分）选择填空与计算填空：1．设向量组线性相关，向量组线性无关，则必有（    ）．(1) 线性相关；       (2) 线性无关；(3) 可由线性表示；     (4) 可由线性表示．2．设方阵满足，则必有（      ）．(1) 一定是的特征值；(2) 一定是的特征值；(3) 的特征值不可能是和以外的数值．3．将矩阵的第1列加到第2列得到矩阵，再将矩阵的第2列与第3列对换得到矩阵，那么，其中矩

2、阵．4．设与的秩相同，则必有（      ）．(1) 的列向量组与的列向量组等价；(2) 的行向量组与的行向量组等价；(3) 可经过初等变换得到；(4) 齐次线性方程组与同解．5．设与满足，且，则必有（      ）．(1) 的列向量组线性相关；    (2) 的列向量组线性无关；(3) 的行向量组线性相关；    (4) 的行向量组线性无关．6．设经过初等行变换得到，则必有（      ）．(1) 与的特征值相同；        (2) 与的行列式相同；(3) 与相似；  (4) 齐次线性方程组与同解．7．设相似于，则必有（      ）．(1

3、) 存在可逆矩阵，使得；(2) 存在可逆矩阵与，使得；(3) 存在正交矩阵，使得；(4) 的特征向量是的特征向量．8．设是实矩阵，是实向量，，则（    ）．(1) 不是二次型；(2) 是二次型，且该二次型的矩阵是；(3) 是二次型，且该二次型的矩阵是；(4) 是二次型，且该二次型的秩等于．二、（9分）计算行列式．三、（15分）求正交于向量组，，（为实数）的全体实向量．四、（15分） 设矩阵的一个特征值为3，非齐次线性方程组的三个线性无关的解向量为．1．证明能够相似于对角矩阵；2．求的通解．五、（15分）已知二次型的秩为2．1．求参数；2．用正交

4、变换将化为标准形；（要求写出正交变换的矩阵）3．问表示哪一类二次曲面？六、（12分）已知向量空间的两个基为 (1)和 (2),,．设在基(1)与基(2)下的坐标分别为，，且满足．1．求由基(1)改变为基(2)的过渡矩阵；2．求在基(1)下的坐标．七、（10分）设矩阵的秩为，且维列向量组线性无关，证明：向量组线性无关．西北工业大学2007-2008学年第一学期线性代数考试试题答案一、1．；2．；3．；4．；5．；  6．；  7．；  8．．二、两条线的行列式，按第一行展开得三、根据题设条件得由于1）当时，，此时同解方程组为，通解为，故．2）当时，

5、，同解方程组为，通解为故．四、１．记，，则由和知均是的解向量．设，整理得，由线性无关知，，，从而只有，，故线性无关．由于是3阶矩阵对应2重特征值的两个线性无关的特征向量，3是的单特征值，故能够相似于对角矩阵．2．由１知，存在可逆矩阵，使得，所以，故的基础解系含2个线性无关的解向量．又知是的线性无关解向量，从而的通解为　　五、1．二次型的矩阵，由知解得．2．．可求得，所以的特征值为，对应的特征向量为，（已正交）；对应的特征向量为，单位化得正交变换，其中化二次型为标准形．    2．表示（椭）圆柱面．六、1．由题设条件得坐标变换公式从而基变换公式为，

6、即故由基(1)改变为基(2)的过渡矩阵为　　2．故在基(1)下的坐标为．七、设　　　　　　　即　　　　　　　　　　　因为列满秩，所以齐次方程组只有零解，故由上式得又因为线性无关，故上式成立只有．从而向量组线性无关．