西北工业大学2003至2004学年第二学期线性代数考试试题

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1、西北工业大学2003至2004学年第二学期线性代数考试试题（2004.5）　　一、填空题(每空3分)　　　1 ．已知阶矩阵，，且　　的行列式，则_________ ，___________ 。　　　2 ．已知向量组，空间　　则的维数为_______ 。　　　3 ．设阶矩阵，均可逆，则_________ 。　　　4 ．已知线性方程组的系数矩阵的列向量为，其中　　 线性无关，且，，则的　　通解为____ 。　　　5 ．设方阵，，若矩阵与相似，则的　　值为 _____ 。　　　6 ．设方阵满足，则______ 。　　　7 ．

2、设是正定二次型，则应满足的条件为　　 ___。　　二、 (10分) 设阶方阵，求矩阵的特征值及矩阵　　 的行列式。　　三、 (10分) 设，且矩阵满足，这里为　　单位矩阵，求矩阵。　　四、 (13分) 当满足什么条件时，线性方程组有惟　　一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。　　五、 (15分) 已知的两组基(I)， (II)。　　(1) 求由基(II)到基(I)的过渡矩阵；　　(2) 如果关于基(I)的坐标为，求关于基(II)的坐标；　　(3) 求在两个基下有相同坐标的向量。　　六、(10分)已知向量组　　　

3、　则当取何值时，与等价 ?　　七、 (5分) 设矩阵，均为阶方阵，矩阵可逆，且满足　　　 ，证明和都是可逆矩阵。　　八、 (13分) 试求一正交变换，化二次型　　　　为标准形。又问是什么二次曲面？西北工业大学2003-2004学年第二学期线性代数考试试题答案　　一、 1 ； 2 ； 3 ．； 4 ．(任意)；　　5 ．； 6 ．； 7 ．。　　二、 　　　　　　　　故的特征值为(重)，，。　　三、，即，　　故　　或 　　　　四、可求得　　(1) 当且时，有惟一解；　　(2) 当时，　　，无解。　　(3) 当时，　　，无

4、穷多解。同解方程组为，通解为即(任意)　　五、(1) 因为　　，　　所以 　　故由基(II)到基(I)的过渡矩阵为　　　　(2) 　　故在基(II)下的坐标为。　　(3) 设 ，则有，即　　由于 　　同解方程组为 ，故 。　　六、由于　　　　　　可见时，可由线性表示。又由　　　　　　　　　　　　即总可由线性表示。　　故时，与等价。　　七、由得，取行列式得　　从而。　　八、二次型矩阵。可求得　　　　　　所以的特征值为，，。对应的特征向量分别为， ， 　　单位化得， ， 　　故正交变换　　化二次型为。　　为单叶双曲面。