线性代数内招试卷a附标准答案

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1、暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：暨南大学考试试卷教师填写20_10__-20_11_学年度第__1__学期课程名称：____线性代数____授课教师姓名：__________________考试时间:__2011___年___1___月___19___日课程类别必修[√]选修[]考试方式开卷[]闭卷[√]试卷类别(A、B)[A]共7页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[√]外招[]题号一二三四五六七八九十总分得分得分评阅人一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1.已知行列式，则x=___3___.2.

2、设齐次线性方程组为，则它的基础解系所含向量个数为n-1.3.设矩阵，其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式____40___.4.设为矩阵，且，则=_______.5.假设已知阶方阵的伴随矩阵，且已知常数，则________.6.已知为矩阵，且，则的列向量组线性相关.7.设向量是相互正交的单位行向量，其中，的第一个分量非负，则___________.第8页共8页暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：8.设为阶方阵，有非零解，则必有一个特征值为__0.9.设3阶矩阵与相似，且已知的特征值为，则.10.设为正定二次型，则实

3、数的取值范围是__________.得分评阅人二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1.设，则项的系数为（D）.A.-2B.-4C.-6D.-102.设是非齐次线性方程组的解，是对应的齐次方程组的解，则必有一个解是（D）.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A.B.C.D.3.设向量组，则线性相关的充分必要条件是（A）.A.不全相等B.互不相等C.全不为0D.不全为04.设矩阵，，另有矩阵，则必有（C）.A.B.C.D.7.已知是矩阵的特征向量，则（B）.A.1或2B.1或-2C.-1或-2D.-1或2第8页共8页暨南大学《线性代数》试

4、卷A卷考生姓名、学号：得分评阅人三、计算题（共4小题，每小题8分，共32分）1．设，表示其第行第列元素的代数余子式，试求.解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成（该题也可直接利用代数余子式的方法求解）2．设向量组，，，，，求：（1）该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示.解作矩阵，对作初等行变换，化为阶梯形矩阵（1）因此的秩，（2）该向量组的极大无关组为，第8页共8页暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：3．将二次型化为标准形，并写出相应的非退化（可逆）线性变换.解方法一（配

5、方法）令，即所作非退化线性变换为可将原二次型化为标准形方法二（正交变换法）二次型所对应的二次型矩阵为，其特征方程为因此的特征值为当时，的基础解系为，将其正交化、单位化后得，当时，的基础解系为单位化后得令正交矩阵，则通过非退化的线性变换，可将二次型化为标准形第8页共8页暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：4．已知矩阵，且，求矩阵.解因为，则（注：的求解可利用伴随矩阵法或初等变换法，以下利用伴随矩阵求解）所以可逆则第8页共8页暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：得分评阅人四、计算题（共2小题，每小题11分，共22分）

6、1．已知实对称矩阵(1)求的全部特征值和特征向量；（2）求正交矩阵，使为对角矩阵.解（1）矩阵的特征方程为因此的全部特征值为当时，的基础解系为，因此和特征值对应的全部特征向量为（不全为零）当时，的基础解系为因此和特征值对应的全部特征向量为（不为零）（2）将，正交化、单位化后得，将单位化后得令正交矩阵，则为对角矩阵，且第8页共8页暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：2．当取何值时，线性方程组有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解.解令线性方程组的矩阵形式为，先对其增广矩阵进行行变换所以，当且仅当时方程组

7、有解，特解，其导出组的基础解系为，原方程组的全部解为（为任意常数）第8页共8页暨南大学《线性代数》试卷A卷考生姓名、学号：得分评阅人五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）1．设为三阶方阵，有三个不同的特征值，对应的特征向量，令，证明向量组线性无关.证明由已知可得，，因此为证明向量组线性无关，只需证明向量组，，线性无关.设，则有，即而由于向量组线性无关，所以得方程组因为互不相等，故得，从而向量组也线性无关.第8页共8页