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《线性代数北邮版课后试卷附标准答案试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题二（A类）1.1.设A=，B=，（1）计算3A-B，2A+3B；（2）若X满足A+X=B，求X；（3）若Y满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求Y.解：（1）3A-B=-=。2A+3B=+=。（2）因A+X=B，则X=B-A，即X=-=。（3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）==。2.计算下列矩阵的乘积.（1）；（2） ；22/22（3） ；（4） ；（5）；（6） .【解】(1)(2);(3)(10);(4)(5);(6).3. 设，，求(1);(2)；(3)吗?【解】(1)(2)(3)由于AB≠BA,故(A+B)(A-B)
2、≠A2-B2.4.举例说明下列命题是错误的.(1)若，则；(2)若，则或；(3)若，，则.【解】(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠022/22(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3)令则AX=AY,但X≠Y.5.计算：（1）；（2）（k为正整数）；（3）（k为正整数）.解：（1）===。（2）令Dk=（k为正整数），则当k=2时，D2===；设Dm=成立，则Dm+1===.22/22故有：Dk==.(3)令Dk=（k为正整数），则当k=2时，有：D2==；假设Dm==成立，则Dm+1==；故有=。6.设，求
3、
4、.解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为，所以有，且，即于是有.7. 已
5、知线性变换22/22利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知从而由到的线性变换为8. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,所以(B′AB)′=B′A′B=B′AB,故也为对称阵.9. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.则AB=(AB)′=B′A′=BA,反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB,所以，AB为对称阵.10.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵.(2)AB-BA是对称矩阵，
6、AB+BA是反对称矩阵.【证明】因A′=A,B′=-B,故(B2)′=B′·B′=-B·(-B)=B2;(AB-BA)′=(AB)′-(BA)′=B′A′-A′B′=-BA-A·(-B)=AB-BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′=-BA+A·(-B)=-(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.11.求与A=可交换的全体二阶矩阵.22/22【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.12.求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由
7、于A=E+,而且由可得由此又可得所以22/22即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.13. 求下列矩阵的逆矩阵.(1)；(2)；(3)；(4) ；【解】(1);(2);(3);(4);14.利用逆矩阵，解线性方程组【解】因,而故15.证明下列命题：22/22(1)若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2)若A可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3)若AA′=E,则（A*）′=(A*)-1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有c*c=cc*=
8、c
9、E,而A,B均可逆且同阶，故可得
10、A
11、·
12、B
13、·B*A*=
14、AB
15、E(B*A*)=(AB)*AB(B*A*)=(A
16、B)*A(BB*)A*=(AB)*A
17、B
18、EA*=
19、A
20、·
21、B
22、(AB)*.∵
23、A
24、≠0,
25、B
26、≠0,∴(AB)*=B*A*.(2)由于AA*=
27、A
28、E,故A*=
29、A
30、A-1,从而(A-1)*=
31、A-1
32、(A-1)-1=
33、A
34、-1A.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。于是A*(A-1)*=
35、A
36、A-1·
37、A
38、-1A=E,所以(A-1)*=(A*)-1.(3)因AA′=E，故A可逆且A-1=A′.由(2)(A*)-1=(A-1)*,得(A*)-1=(A′)*=(A*)′.16. 已知线性变换求从变量到变量的线性变换.【解】已知且
39、A
40、=1≠0,故A可逆，因而所以从变量到变量的线性变换为17.
41、解下列矩阵方程.(1)；22/22(2)；(3)；(4).【解】(1)令A=;B=.由于故原方程的惟一解为同理(2)X=;(3)X=;(4)X=18.设，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故19.设次多项式，记,22/22称为方阵的次多项式.(1)，证明，；(2)设，证明，.【证明】(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设那么所以，对一切自然数k，都有而(2)由(1)与A=P-1BP,得B=PAP-1.且Bk=(PAP-1)k=PAkP-1,又
