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1、2005年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限=2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】=（2）微分方程满足初始条件的特解为.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为，积分得，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（3）设二元函数，则.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】,,于是.（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有,得，但题设，故.（5）设均为3维列向量，记
2、矩阵，，如果，那么2.13/13【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从中任取一个数，记为Y,则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【详解】=+++=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A)
3、2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【详解】=，知可能极值点为x=1,x=2，且，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设,,,其中，则(A).（B）.13/13(C).(D).[A]【分析】关键在于比较、与在区域上的大小.【详解】在区域上，有，从而有由于cosx在上为单调减函数，于是因此，故应选(A).（9）下列结论中正确的是(A)与都收敛.（B）与都发散.(C)发散，收敛
4、.(D)收敛，发散.[D]【分析】直接计算相应积分，判定其敛散性即可.【详解】=，积分收敛，=，积分发散.故应选(D).（10）设,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，是极小值.（B）f(0)是极小值，是极大值.（C）f(0)是极大值，也是极大值.(D)f(0)是极小值，也是极小值.[B]【分析】先求出，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】，显然，13/13又，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C）若在（0，1
5、）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界.[C]【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)=,则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（12）设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C为(A)E.（B）-E.（C）A.(D)-A[A]謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【分析】利用矩阵运算进行分析即可.【详解】由B=E+AB,C=A+CA，知(E-A)B
6、=E,C(E-A)=A,可见，E-A与B互为逆矩阵，于是有B(E-A)=E.从而有(B-C)(E-A)=E-A,而E-A可逆，故B-C=E.应选(A).（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[B]厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【详解】由题设，知a+b=0.5又事件与相互独立，于是有13/
7、13，即a=,由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).（14）设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则(A).(B).(C)(D)[C]【分析】只需求出的期望与方差，再根据中心极限定理将其标准化即可.【详解】由题设，，，于是，，根据中心极限定理，知其极限分布服从标准正态分布，故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】
