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1、1999年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题x1（1）设函数f(x)=a(a>0,a≠1),.则llim[f(1)f(2)"f(n)]=______.n→∞n21【答】lna2n11【详解】.lim22[(1)(2)fff"()]n=lim∑ln()finn→∞nn→∞i=112+++"n1==lnaailimln.2n→∞n2x2（2）已知f(x,y,z)=eyz,.其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，'则f(0,1,1)−=x【答】1【详解】因为z=z(x,y)是x,y的函数,于是有'2xx∂zfxyzeyz(,,)=+2eyzi,x∂x
2、等式x+y+z+xyz=0两边对x求偏导,得∂∂zz10+++yzxyi=,∂∂xx∂z令xyz===0,1,−1,由上式得=0,于是有∂x'∂zf(0,1,1)12−=−i=1.x∂x⎛⎞101⎜⎟nn−1(3)设A=020，而n≥2为整数,则A−2A=.⎜⎟⎜⎟101⎝⎠【答】O⎛⎞101101⎛⎞⎛⎞2022⎜⎟⎜⎟⎜⎟【详解】因为A==020020i0402.=A⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠101101⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠202nnn−−122故有AAAAA−=2(−=2)O.⎡120−⎤⎢⎥（4）已知ABBA−=,其中B=210,则A=⎢⎥⎢⎣002⎥⎦⎡⎤110⎢⎥2⎢⎥⎢⎥1【答】−10⎢
3、⎥2⎢⎥002⎢⎥⎢⎥⎣⎦−1【详解】由AB-B=A,有ABBE=−(),而−1⎡⎤020−⎡⎤010−1⎢⎥1⎢⎥(BE−=)200=−100.⎢⎥2⎢⎥⎢⎥⎣⎦001⎢⎥⎣⎦002⎡1⎤10⎢⎥2⎡⎤120010−⎡⎤⎢⎥11⎢⎥⎢⎥⎢⎥故有A=−210100i=−1022⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦001002⎢⎥⎣⎦⎢⎥002⎢⎥⎢⎣⎥⎦（5）设随机变量X服从参数为λ的泊松(Poisson)分布,且已知EX[(−−=1)(X2)]1,则λ=【答】1【详解】由题设X服从参数为λ的泊松(Poisson)分布,因此有EX(),().==λDXλ2于是根据EX[(−−=−+1)(X2)]EX()3(
4、)2EX22=+−+DX()[()]3()2EXEX=λλλ+−321,+=解得λ=1.二、选择题（1）设f(x)是连续奇函数,F(x)是f(x)的原函数,则(A)当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数(B)当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数【答】(A)x【详解】f()x的原函数Fx()可以表示为F()xf=∫()tdt+C,于是0−xxF()−=xf∫∫()tdt+=−Cutf()().−−+uduC00当f()x为奇函数,即f()−=−uf()u,从而有−xxF()−=xf∫∫
5、()tdt+=Cf()tdt+=CF().x00即Fx()为偶函数.故(A)为正确选项,至于(B),(C),(D)可分别举反例如下:213f()xx=是偶函数,但其原函数Fx()=x+1不是奇函数,可排除(B);3211f()cosxx=是周期函数,但其原函数Fx()=+xsin2x不是周期函数,可排除(C);2412f()xx=在区间(,)−∞+∞内是单调增函数,但其原函数Fx()=x在区间(,)−∞+∞2内非单调增加函数,可排除(D).（2）设f(x,y)连续，且f(x,y)=xy+∫∫f(u,v)dudv,其中D是由D2y=0,y=x,x=1所围区域，则f(x,y)等于(A)xy（B）
6、2xy1(C)xy+(D)xy+18【答】(C)【详解1】令∫∫f(,)uvdudv=AD则f(,)xyxyA=+,将f(,)xyxyA=+代入(*)式得∫∫[]uv+Adudv=AD即∫∫[]xy+Adxdy=AD211x2∫∫dxxydy+=Axdx∫A000111+=AA,解得A=12381故fxyxy(,)=+8【详解2】等式f(,)xy=+xy∫∫fuvdudv(,)两边取在区域D上的二重积分得:D∫∫f(,)xydxdy=+∫∫xydxdy∫∫xydxdyi∫∫fuvdudvA(,)DDDD211x2∫∫f(,)xydxdy=+∫00dx∫xydxdy∫0xdxi∫∫fxydxd
7、y(,)DD11∫∫f(,)xydxdy=+∫∫fxydxdy(,)123DD1由上式解得∫∫fxydxdy(,)=8D1则fxyxy(,)=+8（3）设向量β可由向量组α,,αα"线形表示，但不能有向量组(Ⅰ)α,,αα"12m12m−1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α,,ααβ",，则：12m−1(A)α不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示m（B）α不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示m(C)α
