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1、2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题arcsinx（1）∫dx=____________.x【答】2xarcsinx+21−x+C1【详解】令t=x.，则dt=dx,dx=2tdt故2xarcsinx∫∫dx=2arctantdtx2=+2(arctantti1−t)+C=+2axrcsin21xx−+Cxx3a+b（2）若a>0,b>0均为常数，则lim()x=______________.x→023【答】(ab)2xxxx3xx22ab+−ab++xaab−2xxbixlim()=+lim(1)+−2【详解1】xx→→
2、0022xxxx32ab+−3laabbnl+n−2limlim==ee2x→0x21x→033lnab==ea22()bxxxx33ab+ab+lnlim()xx=lime2【详解2】xx→→002xxxx3ln(ab+−)3ln2aabbln+lnlim3limx→0xax→0xx+b==ee33lnab==ea22()bTTn(3).设a=(1,0,−1)，矩阵A=aa，n为正整数，则aEA−=________.2n【答】a(a−2)⎡⎤101−TT⎢⎥【详解1】因为A==αα000,αα=2，⎢⎥⎢⎥⎣⎦−101nTTT故有A=⋅⋅αααα"ααT
3、nT−−11n==ααα()α2,Ann−1故有aaE−=−AEA2nn−−11a−2022n==00aa(a−2)nn−−11202a−2【详解2】因为A满足：A=2A，因此A的三个特征值为λ=λ=0,λ=2（三根之和等于A的对角线上三个因素之123nnn和），从而aE−A的三个特征值为：a−λ，即a,a,a−2，故有inn2naaEA−=⋅⋅−=−a(2)(2)aaa.（4）已知四阶矩阵A相似于B；A的特征值2、3、4、5.E为四阶单位矩阵，则B-E=______.【答】24【详解】因为A相似于B，所以B得四个特征值为2，3，4，5.从而矩阵B-E的特
4、征值为λ−1，即1，2，3，4.故行列式B-E=1×2×3×4＝24i⎧1若x>0⎪（5）假设随机变量X在区间[−1,2]上服从均匀分布，随机变量Y=⎨0若X=0，⎪⎩−1若x<0则方差DY=________________.8【答】9【详解】因为X在区间[−1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为⎧1⎪−1≤x≤2f(x)=⎨3⎪⎩0其他1于是P{Y=-1}=P{}X<0=3P{Y=0}=P{}X=0=02P{Y=1}=P{}X>0=3因此121E(Y)=−1×+0×0+1×=333221222E(Y)=(−1)×+0×0+1×=1332218故D(Y)
5、=E(Y)−[E(Y)]=1−=99二、选择题（1）设对任意的x，总有ϕ(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)−ϕ(x)]=0，则limf(x)x→∞x→∞(A)存在且一定等于零(B)存在但不一定为零(C)一定不存在(D)不一定存在【答】[D]−x−x【详解】若令ϕ(x)=1−e,g(x)=1+e,f(x)=1，则有ϕ(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)−ϕ(x)]=0,limf(x)=1x→∞x→∞可排除（A）（C）两个选项.x−x−xxx又如ϕ(x)=e−e,g(x)=e+e,f(x)=e显然ϕ(x),g(x),f(x)满足题设条件，
6、但limf(x)不存在。x→∞因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项.（2）设函数f()x在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处不可导的充分条件是''(A)f(a)=0且f(a)=0（B）f(a)=0且f(a)≠0''(C)f(a)>0且f(a)>0(D)f(a)<0且f(a)<0【答】[B]【详解】举反例进行说明：如2'2f(x)=x在点x=0处，f(0)=0,f(0)=0，并不能推倒出f(x)=x在点x=0处不可导，排除（A）2'2f(x)=x在点x=1处，f(1)>0，f(1)>0，但f(x)=x在点x=1处可导，排除（C）；2'2同样，f(
7、x)=−x在点x=1处，f(1)<0，f(1)<0,但f(x)=x,在点x=1处可导,排除(D).剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即fa()0=且fa'()≠0时,有fx()−fa()fx()lim=−lim=−f'(),a−−xa→→xa−−xaxafx()−fa()fx()lim=−lim=−f'().axa→+xa−−xa→+xa可见当fa'()≠0时,f(x)在点x=a处的左、右导数不相等,因此导数不存在.故fa()0=且fa'()≠0是f(x)在点x=a处不可导的充分条件.（3）设aaa,,是四元非齐次线形方程组AX=b的三个解向量，
8、且秩123TT(A)=3,a=(1,2,3,4),aa+=(0,1
