1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四

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1、1998年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题n（1）设曲线f()xx=在点()1,1处的切线与x轴的交点为(ξ,0,)则limf()ξ=_______.nnn→∞−1【答】e【详解】因为dfx()n−1dfx()=nx,,=ndxdxx=1故过()1,1的切线方程为yn−=11()x−.当y=0时，得1ξ==−x1,nnn⎛⎞1−1因此lim()ξ=−=lim1⎜⎟e.nnn→∞→∞⎝⎠nlnx−1（2）dx=___________∫2xlnx【答】−+Cx【详解】lnx−1⎛⎞111dx=()lnx−−=1d⎜⎟−−()lnx1+d(

2、)lnx−1∫∫2∫xx⎝⎠xxlnxx11ln11=−++dx=−+−+C∫2xxxxxxlnx=−+C.x⎡100⎤∗⎢⎥∗（3）设矩阵A,B满足ABA=BA28−E，其中A=−020,E为单位矩阵，A为⎢⎥⎢⎣001⎥⎦A的伴随矩阵，则B=________________⎡⎤200⎢⎥【答】040−⎢⎥⎢⎥⎣⎦002−1【详解1】将已知矩阵方程组两边分别左乘A，右乘A得∗−11−−1A()ABAA=ABAA(28)−AEA(),化简有ABA=−28BE.又A=−2,因此()A+EB=4E.于是−1⎡220⎤−1⎢⎥BEA==44()+E0−10⎢⎥⎢⎣00

3、2⎥⎦⎡⎤100⎢⎥2⎡⎤200⎢⎥⎢⎥4010=−=−⎢⎥040.⎢⎥⎢⎥1002⎢⎥⎢⎥00⎣⎦⎣⎦2【详解2】∗−1∗对ABA=BA28−E两边分别左乘A，分别右乘A，利用AAA=E以及−1AAE=得ABA=−28BE.−1因此，BA=−82()AE.而⎡⎤224⎡−⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥()24AAE−=−−−=−22,⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦224⎢⎣−⎥⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤1−1⎢⎥4⎡⎤42⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥1⎢⎥B=−=−=−8284.⎢⎥⎢⎥2⎢⎥⎢⎥⎣⎦43⎢⎥⎢⎥⎣⎦1⎢⎥⎢⎥⎣⎦4【详解3】由已知矩阵方程得∗()28E−=ABAE−1∗−1两边分别左乘(

4、)2EA−，右乘A得−−11−1=−⋅=∗−1⎡⎤−=−∗∗BE82()AAA8⎣⎦()2EA82(AAA)−1−1=−=+82()AAE82()A2E⎡2⎤1−1⎢⎥=⋅84()AE+=−.2⎢⎥⎢⎣2⎥⎦*1−（4）设A,B均为n阶矩阵,AB==2,−3,则2AB=_____________21n−2【答】−3*1−【详解】由于A=AA,故*1−−11−−11−22ABA==iABA4B21n−n112==4.i−AB3（5）设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=_____时,成功次数的标准差的值最大,其最大值=.1【答】,52【详解】设

5、X表示100次独立重复试验成功的次数,则X服从二项分布B(100,)p,均值E()100,Xp=标准差DX()=−100(1pp).由于DX()与DX()同时具有最大值,而DX()100(1=p−p)1显然在p=时,取最大值,21故p=时,DX()最大,且最大值为5.2二、选择题ffx(11)−−()（1）设周期函数f(x)在()−∞+∞,内可导，周期为4.又lim=−1,则曲线x→02xyfx=()在点()5,f()5处的切线斜率为1()AB.()0.()CD−1.()−2.2【答】应选()D【详解】由已知ffx()11−−()11ffx(11)−−()lim

6、==limf′()1=−1,xx→→0022xx−2于是f′()12=−.又f()(xf+=4,x)两边求导得f′′()(xf+=4,x)故ff()512==()−.即曲线yfx=()在点()5,f()5处的切线斜率f′(52)=−.1+x（2）设函数fx()=lim,讨论函数f(x)的间断点，其结论为2nn→∞1+x()A不存在间断点.(B)存在间断点x=1()C存在间断点x=0(D)存在间断点x=−1.【答】应选()B【详解】由于⎧0,x>1,1+x⎪fx()==lim⎨−1,x=0,2nn→∞1+x⎪⎩1,+

7、向量组α,,βγ线性无关;α,,βδ线性相关,则(A)α必可由β,,γδ线性表示,(B)β必不可由α,,γδ先行表示(C)δ必可由α,,βγ线性表示(D)δ必不可由α,,βγ线性表示【答】应选()C【详解】由题设α,,βγ线性无关,因此α,β也线性无关,而题设α,,βδ线性相关,故δ必可由α,β线性表示,且表示方法唯一,从而δ也可由α,,βγ线性表示.(4)设A,,BC是三个相互独立的随机事件,且0()1

8、的随机事件,故其中任意两