数学四考试研究、详解和评注

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1、以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过2005年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限=2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】=【评注】若在某变化过程下，，则完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.23【例1.28】（2）微分方程满足初始条件的特解为.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为，积分得，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.【评注】本题虽属基本题型，也可先变形，再积分求解.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.229【例10.

2、5】（3）设二元函数，则.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】,,于是.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.166【例7.6】（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.16/16【详解】由题设，有,得，但题设，故.【评注】当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.312【例3.3】（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详

3、解】由题设，有=，于是有【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。，，，则有16/16完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.268【例1.5】（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从中任取一个数，记为Y,则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【详解】=+++=【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点.完全类似例题

4、见《数学复习指南》（经济类）P.407【例1.31】二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【详解】=，知可能极值点为x=1,x=2，且，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应

5、选(B).【评注】对于三次多项式函数f(x)=,当两个极值同号时，函数f(x)只有一个零点；当两个极值异号时，函数f(x)有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数f(x)有两个零点.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.151【例6.26】（8）设,,,其中，则(A).（B）.(C).(D).[A]【分析】关键在于比较、与在区域16/16上的大小.【详解】在区域上，有，从而有由于cosx在上为单调减函数，于是因此，故应选(A).【评注】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论.完全类似例题见《数学复

6、习指南》（经济类）P.183【例8.2】（9）下列结论中正确的是(A)与都收敛.（B）与都发散.(C)发散，收敛.(D)收敛，发散.[D]【分析】直接计算相应积分，判定其敛散性即可.【详解】=，积分收敛，=，积分发散.故应选(D).【评注】广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.123【例4.52】（10）设,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，是极小值.（B）f(0)是极小值，是极大值.（C）f(0)是极大值，也是极大值.(D)f(0)是极小值，也是极小值.[B]【分析】先求出，再用取极值的充分条

7、件判断即可.16/16【详解】，显然，又，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).【评注】本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件.对应定理公式见《数学复习指南》（经济类）P.141（11）以下四个命题中，正确的是(A)若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界.[C]【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)=,则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1