试题分析详解和评注

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1、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】由，得x=1,可见切点为，于是所求的切线方程为，即.【评注】本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为，即.（2）已知，且f(1)=0,则f(x)=.【分析】先求出的表达式，再积分即可。【详解】令，则，于是有，即积分得.利用初始条件f(1)=0,得C=0，

2、故所求函数为f(x)=.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】正向圆周在第一象限中的部分，可表示为于是=（4）欧拉方程的通解为.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解】令，则，，14代入原方程，整理得，解此方程，得通解为【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程，可化为（5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则.【分析】可先用公式进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A，得，而，于是有，即，再两边

3、取行列式，有，而，故所求行列式为（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则=.【分析】已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解】由题设，知，于是==二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是14(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】，可排除(C),(D)选项，又=，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).（8）设函数f

4、(x)连续，且则存在，使得(A)f(x)在（0，内单调增加.（B）f(x)在内单调减少.(C)对任意的有f(x)>f(0).(D)对任意的有f(x)>f(0).[C]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解】由导数的定义，知，根据保号性，知存在，当时，有即当时，f(x)f(0).故应选(C).（9）设为正项级数，下列结论中正确的是(A)若=0，则级数收敛.（B）若存在非零常数，使得，则级数发散.(C)若级数收敛，则.(D)若级数

5、发散,则存在非零常数，使得.[B]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.14【详解】取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但，排除(C),故应选(B).（10）设f(x)为连续函数，，则等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[B]【分析】先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得=于是，，从而有，故应选(B).（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=

6、C的可逆矩阵Q为(A).(B).(C).(D).[D]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有，，于是，可见，应选(D).（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.[A]【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx

7、=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】设A为矩阵，B为矩阵，则由AB=O知，14.又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A)

8、的定义进行分析，也可通过