2000年试题分析、详解和评注

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1、2003年全国硕士入学统考数学(二)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若时，与是等价无穷小，则a=-4.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当时，，.于是，根据题设有，故a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式两边直接对x求导，得，将x=1,y=1代入上式，有故过点(1,1)处的切线方程为

2、，即（3）的麦克劳林公式中项的系数是.【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是【详解】因为，，，于是有，故麦克劳林公式中项的系数是（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.15【分析】利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】所求面积为=.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=3.【分析】本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由=，知，于是（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶

3、单位矩阵，若，则.【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由知，，即，易知矩阵A+E可逆，于是有再两边取行列式，得，因为,所以.15二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用

4、举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为==，可见=（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)[A]15【分析】将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出.【详解】将代入微分方程，得，即.令lnx=u，有，故=应选(A).（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D

5、)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（5）设,,则(A)(B)(C)(D)[B]【分析】直接计算是困难的，可应用不等式tanx>x,x>0.

6、【详解】因为当x>0时，有tanx>x，于是，，从而有15，，可见有且，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).（6）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当时，向量组I必线性相关.[D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如

7、，则，但线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C).故正确选项为(D).三、（本题满分10分）设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即【详解】=15==令，有，得或.当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断点.四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求