数学一试题分析、详解和评注

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1、2004年数学一试题分析、详解和评注1【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】由，得x=1,可见切点为，于是所求的切线方程为，即.【评注】本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为，即.（2）【分析】先求出的表达式，再积分即可。【详解】令，则，于是有，即积分得.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。（3）【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】正向圆周在第一象限中的部分，

2、可表示为于是=【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解】令，则，，代入原方程，整理得，14解此方程，得通解为【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程，可化为（5）【分析】可先用公式进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A，得，而，于是有，即，再两边取行列式，有，而，故所求行列式为【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。（6）【分析】已知连续型随机变量X的分布，求

3、其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解】由题设，知，于是==【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。二、（7）[B]【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】，可排除(C),(D)选项，14又=，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序.（8）[C]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解】由导数的定义，知，根据保号性，知存在，当时，有即当时，f

4、(x)f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。（9）.[B]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但，排除(C),故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).（10）[B]【分析】先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得=于是，，从而有，故应选(B).【评注】在应用变限的积

5、分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:14否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。（11）[D]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有，，于是，可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。（12）[A]【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】设A为矩阵，B为矩阵，则由AB

6、=O知，.又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A)

7、分布概率密度函数的对称性知，，于是即有，可见根据定义有，故应选(C).【评注】本题相当于分位数，直观地有14o（14）[A]【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：【详解】Cov(=【评注】本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如=，=（15）（【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得设，则，当t>e时，所以单调减少，从而，即，故.【证法2】