2008年考研数学一试题分析、详解和评注43010

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1、2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数/(Q=J(：ln(2+/)力，则广(兀)的零点个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】应选⑻.［详解】/'(X)=111(2+兀2).2兀=2兀ln(2+兀2).显然f(x)在区间(—oo,+oo)上连续，且厂(一1)・r(l)=(-21n3)*(21n3)<0,由零点定理，知/'(兀)至少有一个零点.4r2Xfx)=2ln(2+X2)+—>0,恒大于零，所以广(兀)在(—00,2)

2、上是单调递增'2+x的.又因为f(0)=0,根据其单调性可知，f(x)多有一个零点.故/'(X)有几只有一个零点.故应选(B).Y(2)函数y)=arctan—在/((0,1)处的梯度等于【y(A)i(B)—i.(C)j-(D)-j.【答案】应选(A).【详解】因为gox1y1无21+7Xdf=~y2=-x心一1+兰y2所以竽ox=1,(OJ)df_=0,于是grad/(x,y)

3、(01)=i.故应选(A).(OJ)(1)在下列微分方程中，以3^C^V+C2cos2x+C3sin2x(C,,C2,C3为任意的常数)为通解的是【】(A)y"+y"-4)/-4y=0.(B)尹+y"+4y

4、'+4y=0.(C)y^-/-4y+4y=0.(D)*-)/+4_/-4)，=0.【答案】应选(D).【详解】由)，=C,^+C2cos2x+C3sin2x,可知其特征根为人=1,^3=±2i,故对应的特征值方程为(2一1)(2+2/)(2一2f)=(A一1)(22+4)=^3+4A-22-4=A3-/L2+4^-4所以所求微分方程为/z-y+4/-4v=0.应选(D).(1)设函数/(x)在(-oo,+oo)内单调有界，｛暫｝为数列，下列命题正确的是【].(A)若｛£｝收敛，贝IJ｛/(%„)｝收敛(B)若｛£｝单调，则｛/(£)｝收敛(C)若｛/•(£)｝收敛，则｛£｝收敛.(D

5、)若｛/(%„)｝单调，则｛£｝收敛.【答案】应选⑻.【详解】若｛£｝单调，则由函数/(X)在(-oo,+oo)内单调有界知，若｛/(£)｝单调有界,因此若｛/(£)｝收敛.故应选(B).(2)设A为〃阶非零矩阵，E为斤阶单位矩阵.若屮=0,则【】则下列结论正确的是：(A)E-A不可逆,则E+A不可逆.(B)E-A不可逆,则E+A可逆.(C)E-AnJ"逆,则E+A可逆.(D)E-A可逆，则E+A不可逆.【答案】应选(C).【详解】故应选(C).(E-A)(E+/14-A2)=E-A3=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E.故E-A,E+A均可逆.故应选(C).rX、(3)设

6、A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(兀yz)Ay=1在正交变换下的标kz>准方程的图形如图，则4的正特征值个数为【(A)0.(B)l・(C)2.(D)3.【答案】应选(B).r"V+z【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为盲-丄「=1.故A的正ac特征值个数为1・故应选(B).(1)设随机变量独立同分布J1.X的分布函数为F(x),则Z=max{X,r}的分布函数为【】(A)F2(x).(B)F(x)F(y).(C)1-[1-F(x)J2.(D)[1-F(x)][l-F(y)].【答案】应选(A).【详解】F(z)=P(Z

7、z)P{Y0.排除(A)和(C).由xnMO,1),YU7V(1,4)，得EX=O,EK=1,E(°X+/?)=aEX+b.l=dXO+/?,h=l.从而排除(B).故应选(D).二、填空J®：(9-14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横

8、线上・)(3)微分方程x/+^=0满足条件XI)=1的解是y二.【答案】应填y=丄.X【详解】由冬=一』，得©=_竺.两边积分，得ln

9、y

10、=-ln

11、x

12、+C.dxxyx代入条件y(l)=l，得C=0.所以y=~.x(4)曲线sin(xy)+ln(y—x)=x在点(0,1)的切线方程为【答案】应填y=x+l.【详解】设F(x,y)=sin(xy)+ln(y-x)-x,则Fv(x,y)=ycos(xy)+1,Fv(x,y)=xcos(xy)+y-xy-xFv