初全国高中衔接教材教案判别式及根与系数的关系

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1、一、根的判别式如求方程的根（1）(2)(3)}我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。由此可知，一元二次方程ax2＋

2、bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2

3、－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．二、根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，则有；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：3如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例1已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．例2已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根

4、的积大21，求m的值．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例3若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求

5、x1－x2

6、的值；（2）求的值；（3）x13＋x23．重要结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

7、x1－x2

8、＝（其中Δ＝b2－4ac）．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。练习1．选择题：（1）方程的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实

9、数m的取值范围是（）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（A）m＜（B）m＞－（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠0（3）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（4）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D

10、）4个（5）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（6）若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:3（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝．（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．（4）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，

11、则k＝．（5）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（6）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（7）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则

12、x1－x2

13、＝．（8）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（9）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3.解答题1．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有

14、两个相等的实数根？没有实数根？鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。2．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k